专题15 圆锥曲线中的热点问题-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题15 圆锥曲线中的热点问题 【要点提炼】 1、圆锥曲线常考查的几何量 (1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程； (2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式； (3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系； (4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系； (5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系. 2、圆锥曲线中的范围、最值问题：可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解. 3、圆锥曲线中的定点、定值问题： (1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. (2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 4、圆锥曲线中的存在性问题。 【方法指导】 1、求解圆锥曲线中范围、最值问题的主要方法： （1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解。 （2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围。 2、 解决圆锥曲线中定点问题的基本方法： （1）假设定点的坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关时得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求的定点。 若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). （2）从特殊位置入手，找出定点，在证明该点满足条件。 3、解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点： （1）分清题目中哪些量是定的，那些量是变动的； （2）注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去； （3）“先猜后证“，也就是利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了证明的方向。 4、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。 5、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。 6、圆锥曲线中的证明问题主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上，某直线经过某个点，某两条直线平行或垂直；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或者不等）。 7、在证明问题时，主要依据直线、圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，把几何条件恰当地转化为代数式子，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算进行证明。 8、在证明圆锥曲线中的等量关系时，要选择合适的参数（如直线的斜率、点的坐标等），通过相关的性质、代数式的恒等变形以及必要的数值计算，把所涉及的量都用这个参数来表示，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行计算推证。 9、解决存在性问题的注意事项： （1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在； （2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。 命题点一 会解决圆锥曲线中的最值或取值范围问题 【典例1】（2021·山东菏泽市·高三一模）已知椭圆 的左右焦点分别为.点 在椭圆上；直线 交 轴于点 .且 .其中 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程; （2）直线 斜率存在，与椭圆 交于 两点，且与椭圆 有公共点，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由 可得 ，再将点 代入方程化简即可求得方程； （2）设直线 的方程 代入椭圆方程，结合韦达定理求得弦长 ，由点到直线距离公式与三角形面积公式求得面积表达式，通过化简整理即可得结果. 【详解】 解: 设由 可得 得 即 另外 在椭圆上， 因此 即 解得 或 (舍去) 故椭圆 的方程 . 设直线 的方程为 原点到直线 的距离为 联立方程组 并化简得 ， 设 ， 则: 故 而由 可得 则 即 故①当 时， 则 故 即直线与椭圆 相切时面积最大为 ②当 时，易知: 时， 面积最大为 . 综上可得 【点睛】 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭