类型六 二次函数与三角形全等、相似（位似）问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型六二次函数与三角形全等、相似（位似）问题 1.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式； （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 2.如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ） ⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； ⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 3.已知抛物线 经过 及原点 ． （1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为 ） （2）过 点作平行于 轴的直线 交 轴于 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 下方的抛物线上，任取一点 ，过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点，交直线 于 点，直线 与直线 及两坐标轴围成矩形 ．是否存在点 ，使得 与 相似？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的 点在 轴的上方，连结 ，矩形 内的四个三角形 之间存在怎样的关系？为什么？ 4.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠 ，且 。 （1）判断 与 是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标； （3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。 5.在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，其顶点的横坐标为1，且过点 和 ． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为 ） （2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐标 的取值范围． 6.如图所示，已知抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG EMBED Equation.3 轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 7.已知：如图，在平面直角坐标系中， 是直角三角形， ，点 的坐标分别为 ， ， ． （1）求过点 的直线的函数表达式；点 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， （2）在 轴上找一点 ，连接 ，使得 与 相似（不包括全等），并求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，如 分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，问是否存在这样的 使得 与 相似，如存在，请求出 的值；如不存在，请说明理由． 8. 如图．平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段AB交y轴与点E． （1）求点E的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），直线EF 与抛物线交与M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求 BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标； （4）连结AN，当 BON的面积的最大时，在坐标平面内使得 BOP与 OAN相似（点B、O、N对应）的点P的坐标． 例1题图 图1 图2 O x y C B E � EMBED Equation.DSMT4 ��� y C � EMB