类型二 二次函数与角度问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型二二次函数与角度问题 1. 如图1，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线 经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）. (1)求c，b（用t的代数式表示）； （2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N. ①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s= ； （3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。 【答案】（1）C=0,b=-t （2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。 ②S= = = 解 = ，得 ∵4＜t＜5，∴ 舍去，∴t= （3） ＜t＜ 2、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点. 求此抛物线的解析式； （2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3）， ∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴设抛物线的解析式为． ∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1． 即抛物线的解析式为．…………3分 （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线可得 点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB=． ∴PC=AC－PA=． 在Rt△BPC中，tan∠BCP==2． 在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM==2． ∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB． 3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式； （2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标； （3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）∵ 过点M、N（2，－5）， ， 由题意，得M（ ， ）. ∴ 解得 ∴此抛物线的解析式为 . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴 交MN于点G， 若△DMN为直角三角形，则 . ∴D1（ ， ）， （ ， ）. ………………………………………4分 直线MD1为 ，直线 为 . 将P（x， ）分别代入直线MD1， 的解析式， 得 ①， ②. 解①得 ， （舍）， ∴ （1,0）. …………………………………5分 解②得 ， （舍）， ∴ （3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q（x， ）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN， 交MN于点H，则 . 即 . 解得 ， （舍）. ∴ （ ，3）. ……………………………7分 ② 若点Q在MN下方， 同理可得 （6， ）. …………………8分 4、平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标； (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为 ，若 ，求点Q的坐标和此时△ 的面积． 【答案】（1）∵ ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 ． ∵ 抛物线 与x轴交于 点A、点B，点A的坐标为 ， ∴ 点B的坐标为 ，OB＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为 ． ∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴ OC=3，点C的坐标为 ． 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分 ∴ 此抛物线的解析式为 ．（如图9）…………………… 3分 （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点 ，点 关于x轴的对称点为点 ，点 、点 均为所求