类型一 二次函数与线段问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型一二次函数与线段问题 1. 已知,如图11,二次函数 EMBED Equation.DSMT4 图象的顶点为 ,与 轴交于 、 两点( 在 点右侧),点 、 关于直线 : 对称. (1)求 、 两点坐标,并证明点 在直线 上; (2)求二次函数解析式; (3)过点 作直线 ∥ 交直线 于 点, 、 分别为直线 和直线 上的两个动点,连接 、 、 ,求 和的最小值. 【答案】解:(1)依题意,得 EMBED Equation.DSMT4 解得 , ∵ 点在 点右侧 ∴ 点坐标为 , 点坐标为 ∵直线 : 当 时, ∴点 在直线 上 (2)∵点 、 关于过 点的直线 : 对称 ∴ 过顶点 作 交 于 点 则 , ∴顶点 把 代入二次函数解析式,解得 ∴二次函数解析式为 (3)直线 的解析式为 直线 的解析式为 由 解得 即 ,则 ∵点 、 关于直线 对称 ∴ 的最小值是 ,过 作 轴于D点。 过点 作直线 的对称点 ,连接 ,交直线 于 则 , , ∴ 的最小值是 ,即 的长是 的最小值 ∵ ∥ ∴ 在 由勾股定理得 ∴ 的最小值为 （不同解法参照给分） 2. 如图，在直角坐标系中，抛物线 （a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． (1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？ (3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标． 【答案】：（1）由题意，得： 解得： ∴ = ，顶点坐标为（1，4）. （2）由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x, )， ∴ 线段PQ= -( x-1)= = 当x= 时，线段PQ最长为 。 （3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2) ∵EP=EQ，PQ与y轴平行， ∴ 2×OE= +( x-1) 当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）。 当OE=2时，x1=1，x2=2， 点P坐标为（1，0）或（2，1）。 3、 如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 图1-2 图1-3 4、如图，抛物线 与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N． 在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝ ，MH＝ ，NH＝1．所以M( , 0)，N(4, 1)． 图2-2 5、如图3-1，抛物线 与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)． 绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得 ．此时P ． 在△