类型二 与切线有关的证明与计算-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 与切线有关的证明与计算 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． (1)求证：AB是⊙O的直径； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长． 【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切 (3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3)，则DE＝eq \f(1,2)BF＝eq \f(3\r(3),2) 2、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝eq \r(2)，DF＝2BF，求AH的值． 【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线 (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq \f(BC,BG)＝eq \f(AB,BC)，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4eq \r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq \r(BC2－FB2)＝4eq \r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq \r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq \r(BF2＋FG2)＝3eq \r(2)，∵BG·BA＝48，∴BA＝8eq \r(2)，∴AG＝5eq \r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq \r(3)，∵△ABC∽△CBG，∴eq \f(AC,CG)＝eq \f(BC,BG)，∴AC＝eq \f(CB·CG,BG)＝eq \f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq \f(8\r(3),3) 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：DF是⊙O的切线； (3)若AC＝2eq \r(5)DE，求tan∠ABD的值． 【答案】：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90° (2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线 (3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq \f(DC,AD)＝eq \f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2eq \r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2eq \r(5)x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝eq \r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(4x,2x)＝2 4、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE. (1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若tan∠ACB＝eq \f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半径． 【答案】：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°