类型一 圆的基本性质证明与计算-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 圆的基本性质证明与计算 1、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E. (1)求证：∠1＝∠CAD； (2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径． 【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD (2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2eq \r(2)，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2eq \r(2)＋x)2，解得x＝eq \r(2)，∴⊙O的半径为eq \r(2) 2、如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8. (1)求⊙O的半径； (2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将eq \o(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积． 【答案】：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5 (2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO·sin60°＝5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),2)，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq \f(120×π×52,360)－eq \f(1,2)×5×eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(25π,3)－eq \f(25\r(3),4)，即图中阴影部分的面积是eq \f(25π,3)－eq \f(25\r(3),4) 3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)连接GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长． 【答案】：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝eq \f(1,2)AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF (2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF (3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(\r(2),2)，∵EF＝eq \r(5)，∴DE＝eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(10),2)，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴eq \f(GE,AE)＝eq \f(EB,ED)，即GE·ED＝AE·EB，∴eq \f(\r(10),2)·GE＝2，∴GE＝eq \f(2\r(10),5)，则GD＝GE＋ED＝eq \f(9\r(10),10) 4．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H. (1)如果⊙O的半径为4，CD＝4eq \r(3)，求∠BAC的度数； (2)若点E为eq \o(ADB,\s\up8(︵))的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD； (3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由． 【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝eq \f(1,2)CD＝2eq \r(3). 在Rt△COH中，sin∠COH＝eq \f(CH,OC)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝eq \f(1,2)