专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题. 一、定点问题 1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 二、定值问题 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 三、定直线问题 定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 【压轴典例】 1．（2021·上海高三专题练习）若AB是过椭圆 中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ， ， ， ， 则 ， ，则 , ， 在椭圆上， EMBED Equation.DSMT4 ， ，两式相减得 ，即 ，所以 ，所以 ， 即 . 2．（2020·江苏镇江市·高三期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线 交抛物线 于 ， 两点，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），则此直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线 的方程为 ， ， ，由 得 ，由根与系数的关系可得： ， ，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），可得 ，所以 ，即 ，所以 ， ， 所以 ，即 ，解得 或 （舍）所以直线 的方程为 ，恒过点 ， 3．（2020·全国高三专题练习）已知 为坐标原点，过点 作两条直线分别与抛物线 ： 相切于点 、 ， 的中点为 ，则下列结论错误的是（ ） A．直线 过定点 ； B． 的斜率不存在； C． 轴上存在一点 ，使得直线 与直线 关于 轴对称； D． 、 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 【答案】A 【详解】设 ， ，∵ ，∴ ，∴过点 的切线方程为 ，即 ，∴ ，同理过点 的切线方程为 ，将 分别代入上式，得 ， ，∴直线 的方程为 ，∴直线 过定点 ，故A选项错误，符合题意； 联立方程 得： ， ，则 ， ，∴点 的横坐标为 ，∴ 轴，故B选项正确，不符合题意；设 ，由题意得 ， ，设直线 、 的斜率分别为 、 ， 则 ，当 时， ，即直线 与直线 关于 轴对称，C选项正确，不符合题意；∵点 到准线的距离为 ，点 到准线的距离为 ， ∴ ，D选项正确，不符合题意. 4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T21)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.