压轴36 圆锥曲线中的定点与定值问题-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴36 圆锥曲线中的定点与定值问题 一、单选题 1. 对于任意实数k，方程所表示的曲线恒过定点 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】B 【解析】解：曲线可化为 且， 解方程组 可得恒过定点、． 故选B． 2. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点C，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图过A、B作准线l：的垂线，垂足分别为，， ， 又∽， ， 由拋物线定义． 由知， 不妨设B在A下方，则， ： 把代入上式，求得，， ． 故． 故选A． 3. 如图，P为椭圆：上的一动点，过点P作椭圆：的两条切线，斜率分别为若为定值，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：设点在椭圆：上， 则， 设过点P的直线为， 与联立消去y得， ， 由于直线与椭圆：相切， 则， 化简整理得，， 由韦达定理，得， 为定值，，解得． 故选C． 4. 已知椭圆，P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过作外角平分线的垂线，垂足为Q，若，椭圆的离心率为e，则的最小值为 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】解：如图，由题意，P是以，为焦点的椭圆上一点， 过焦点作外角平分线的垂线，垂足为Q， 延长交延长线于M， 得， 由椭圆的定义知， 故有， 连接OQ，知OQ是三角形的中位线， ，又， ，则， 即， ， 当且仅当，取等号， 即时，有最小值为． 故选：C． 5. 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则的值是 A.     B.   C.    6 D.   4 【答案】A 【解析】解：因为点A的坐标为，A，B两点关于y轴对称， 所以点B的坐标为， 因为点A在双曲线上， 所以，所以 因为B在直线上， 所以，所以， 所以， 故选A． 二、单空题 6. 已知抛物线C：，焦点为，定点若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足，则直线MN恒过的定点的坐标为_________． 【答案】 【解析】解：抛物线C的标准方程为， 焦点为，所以，， 所以设，， 则， 整理得， 因为M，N不关于y轴对称，所以， 所以恒有， 直线MN的方程为 ， 即， 所以直线MN过定点． 故答案为． 7. 黄金分割比被公认为是最能引起美感的比例．离心率为的椭圆被称为“优美椭圆”，已知“优美椭圆”C：的左、右顶点分别为A，B，点P为C上的动点异于椭圆的左右顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则_______． 【答案】 【解析】解：设，，，则，又因为在椭圆上，所以，所以代入得． 又，解得，所以． 故答案为． 8. 已知抛物线C：，焦点为，定点若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足，则直线MN恒过的定点的坐标为________． 【答案】 【解析】解：抛物线C的标准方程为， 焦点为，所以，， 所以抛物线C的标准方程为， 设，， 则， 整理得， 所以恒有，则直线MN的方程为： ， 即， 所以直线MN恒过定点． 9. 已知点是椭圆C：在第一象限部分上的两个动点，若，则线段AB的垂直平分线恒过定点____________________． 【答案】 【解析】解：因为在椭圆上，且 当时，由得， 设线段AB的中点为， 所以， 所以线段AB的垂直平分线的方程为， 该直线恒过定点； 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点． 故线段PQ的垂直平分线恒过定点． 故答案为 三、解答题 10. 已知抛物线C：经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． Ⅰ求直线l的斜率的取值范围； Ⅱ设O为原点，，，求证：为定值． 【答案】解：Ⅰ抛物线C：经过点， ，解得， 由题意，直线l的斜率存在且不为0， 设过点的直线l的方程为， 设， 联立方程组可得， 消y可得， ，且， 解得，且， 则，， 又、PB要与y轴相交， 直线l不能经过点，即， 故直线l的斜率的取值范围是； Ⅱ证明：设点，， 则，， 因为，所以， 故，同理， 直线PA的方程为 ， 令，得，同理可得， 因为 ， ， 为定值． 11. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于两点，直线分别与x轴交于两点． 求椭圆C的方程； 试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由． 【答案】解：由已知的坐标分别是 由于的面积为3， ，又由得， 解得：，或舍去，， 椭圆方程为． 设直线PQ的方程为，的坐标分别为， 则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标， 直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标， ， 把直线代入椭圆得， 由韦达定理得，， ，是定值． 12. 已知是椭圆上的