13一道圆锥曲线中直线过定点问题的解法探究（解题篇）-《中学生数理化》高考数学2022年4月

中学生数理化想照制_经典题要被方法高考数学2022年4月 一道⑥锥Φ线中正线过定点问题00解法妹究 ■广东省中山市小榄中学张继 圆锥曲线中直线过定点问题是高考重点t，由对称性知，若直线PQ过定点，则该定点 考查内容之一，该类题目形式灵活多变，同学为x轴上的点，且直线PQ的斜率不为0。只 们在解决这一类问题时觉得无从着手，本文要算出t为定值即可，无需讨论直线PQ的斜 针对一道圆锥曲线中直线过定点的典型题目率是否存在。因为直线PQ不过点A(2，0)， 进行多解探讨，希望给同学们今后在解决同所以t≠2。设P(x_1·y_1)，Q(x_1，y_2)，联立 类问题时提供帮助。(x=my+t， 一、试题呈现+y=1，消去上整理得(3m^2+4)y+ 题目―已知椭圆C·_4+3-1的右顶点6mty+3^2-12=0，由韦达定理得y_1+y_2= 为A，直线l交椭圆C于P.Q两点。设直线_6mt3m+4'^y_1y_2=3m^2+4∘x_1+x_x=m(y_1 8t AP.AQ的斜率分别为k_1，k，若k_1k_2=-号， +y_2)+2t=3m+4’^x_1x_2=m^2y_1y_2+mt(y 证明：直线l过定点，并求该定点的坐标。 二、解法展示+y_，)+t=x-12m.k1k_2-=22一2 解法―：当PQ的斜率存在时，设方程为 3m^2+ 3t^’-12- y=kx+b，P(x_1，y_1)。Q(x_22y_2)。因为PQxxx-2(x_1+x_2)+4-4t^2-16t+16- 不过点A(2，0)，所以b+2k≠0。 。，化简得t^2-3t+2=0，解得t=1，或t= (y=kx+b， 联立2+号=1用去y整理得(4k^x+2(舍去)。所以x=my+1，因此直线PQ过 定点(1，0)。 3)x^2+8kbx+4b^3-12=0。由韦达定理得点评：解法二是设直线方程，找参数关 x_1+x_x=-8b 能力，才能从容解决，当A不为椭圆顶点时， 4k2+31^x1x_8=42-1^2系，上述两种方法基于同学们有较强的计算 k_1k_x-x=_2·=2=-4整理得须有较强的整合复杂代数式的能力。能熟练 b^2+3kb+2k^2=0，即(b+2k)(b+k)=0，因掌握十字相乘法，因此，若能直接计算直线 为b+2k≠0，所以b+k=0，则PQ的方程为Q的方程，则计算量会相对减少。 y=kx-k，因此直线PQ过定点(1，0)。 解法三：设AP：y=k(x-2)，则A(2， 当PQ的斜率不存在时，设P(x%·y_。)，)，P(x_1﹐y_1)，联立直线与椭圆方程，消去y 得(4k^2+3)x^2-16k^2x+16k^2-12=0，该方 Q(αv-)则_3k2==，=2-2程的解为2.x；，所以2x4-162^2 解得x_0=1，或x_0=2(舍去)。 综上可得，直线PQ过定点(1，0)。_8k^′-6，则P(k-6.=12k)。同理可得 点评：解法一是解直线过定点问题的通 法，设直线方程为y=kx+b(讨论斜率是否(一+436)。因此直线PQy- 存在)，再把椭圆方程与直线方程联立，使用 韦达定理得到k和b的关系式，解出k或b，-4k^2+9^x-1)，所以直线PQ过定点(1，0)。 消参，直线所过的定点就求出来了。点评：解法三是由两点坐标计算出直线 解法二：设直线PQ的方程为x=my+PQ的方程，通过方程直接写出定点。 __________ 解题篇经典题突破方法中学生数理化 高考数学2022年4月】 解法四：通过前面解法发现M币与M衣 率乘积为定值改为斜率和或斜率的倒数和为 的横纵坐标的分子的二次式系数成比例，说明 定值，用直接法求直线经过的定点比较难，但 M卫与M夜共线，因此，可以直接设出点M的 向量方法易于操作。 坐标，然后运用系数成比例，解出点M的坐 解法六：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 标。前面同解法三，得P(k-6.一12k) PQ:(yg-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1) （4k2+3’4k2+3/ =0,化简得(y2一y1)x-(x:一x1)y+x2y1 Q(8》当PQ的斜率不有 -xy2=0,k1k,=y 在时，由对称性知，若直线PQ过定点，则该 2‘2=3， 为 y1 定点为x轴上的点。设M(1,0),则M卫= 4'x2-2,十2 (8-4m)k-6-3m,12),md 金，则(+2) 3 y1(x1-2) =3,x1y2-3x2y1= 4k2+3 (-8-4m)k2+54-27m.36k1 4k+27 许)令。 6y1一2y2。同理，x2y1一3x1y2=一6y2 2y1。因此4c2y1一4x1y2=-4y2+4y1,整 二6-3m=12 36,解得m=1,所以M市= 理得x2y1一x1y2+（