专题七 利用导数解决实际问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题七 利用导数解决实际问题 基本知识点 1．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题． 2．优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 3．利用导数求优化问题的步骤． (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值． 例题分析 一、面积容积最大最小问题 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解析　设长方体的宽为x m，长为2x m， 则高为h＝eq \f(18－12x,4)＝4.5－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))). 故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2)))， 从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)． 令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝1. 当0<x<1时，V′(x)>0； 当1<x<eq \f(3,2)时，V′(x)<0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值， 从而Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 即当长方体的长为2 m、宽为1 m、高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. 答案 长为2 m、宽为1 m、高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. (对应训练)横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？ 解析　如图，设断面的宽为x，高为y.则当xy2取极大值时，横梁的强度最大．又y2＝d2－x2. ∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．f′(x)＝d2－3x2.　 令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(d,\r(3))，y＝eq \f(\r(6),3)d. 根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,\r(3))))为强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为eq \f(\r(3),3)d，高为eq \f(\r(6),3)d时，横梁的强度最大． 答案 宽为eq \f(\r(3),3)d，高为eq \f(\r(6),3)d 二、费用最省(成本最低)问题 例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解析　(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝， 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x(0≤x≤10)．＋6x＝ (2)f′(x)＝6－＝6， ，令f′(x)＝0，即 解得x＝5，x＝－(舍去)． 当0≤x<5时，f′(x)<0， 当5<x≤10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点， 对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 答案 (1) k＝40，f(x)＝＋6x(0≤x≤10) (2) 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． (对应训练)要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？ 解析　由V＝πr2h，得h＝eq \f(V,πr2)， 设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为 S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5a