专题六 利用导数求恒成立问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题六 利用导数求恒成立问题 基本公式 不等式恒成立问题的转化技巧 (1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min); (2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x))max)； (3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x)); (4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))． 例题分析 一、a≥f(x)(或≤f(x))恒成立问题 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 已知函数f(x)＝xln x. (1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥eq \f(－x2＋mx－3,2)恒成立，求实数m的最大值． 解析 (1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1. ∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数， ∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0， 即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立． ∴a≥－1－ln x. 又当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x∈(－∞，－3]， ∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)． (2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3， 即mx≤2x·ln x＋x2＋3. 又x>0，∴m≤eq \f(2x·lnx＋x2＋3,x). 令h(x)＝eq \f(2x·ln x＋x2＋3,x)， h′(x)＝eq \f(2xln x＋x2＋3′·x－2xln x＋x2＋3·x′,x2) ＝eq \f(2ln x＋2＋2xx－2xln x＋x2＋3,x2)＝eq \f(2x＋x2－3,x2)， 令h′(x)＝0.解得x＝1，或x＝－3(舍)． 当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∴h(x)min＝h(1)＝4，即m的最大值为4. 归纳总结：恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则上面的不等式恒成立． (2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立． (对应训练一)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b， 因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值， 所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得 (2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当x∈(1，2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2，3)时，f′(x)＞0. 所以，当x＝1时， f(x)取极大值f(1)＝5＋8c， 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当x∈[0，3]时， f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0，3]， 有f(x)＜c2恒成立， 所以9＋8c＜c2， 解得c＜－1或c＞9. 因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (对应训练二)设函数f(x)＝xex－x＋2. (1)若a＝1，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围． 解析 (1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－xx2－x＋2， ＋2＝xex－ ∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1<x<0时，f′(x)<0; 当x<－1或x>0时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0， 当x＝0时，显然成立； 当x>0时，即恒成立．≥ 记g(x)＝， ，则g′(x)＝ 当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)是减函数， 当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数． ∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴≤e，得a≤2e－2. 即a的取值范围是(－∞，2e－2]． 二、f(x)≥g(x)恒成立问题 例2 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)的最小值； (2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a