专题五 导数与函数的最值-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题五 导数与函数的最值 基本知识点 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得． 2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点． (2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 例题分析 一、求函数的最值 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 (1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　) A．72　　　　 B．36 C．12 D．0 (2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 (3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值． 解析　(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D. (2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1． 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0， ∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B. (3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1． 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 ↗ 极大值4 ↘ 极小值3 ↗ 极大值4 ↘ －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. 答案　(1)D　(2)B (3) 最小值－60；最大值4. 归纳总结：求函数最值的四个步骤： 第一步，求函数的定义域； 第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表； 第四步，求极值、端点值，其中最大者便是最大值，最小者便是最小值． (对应训练一)求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋sin x，x∈[0,2π]． 解析 (1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))， 令f′(x)＝0解得x＝－eq \r(2)或x＝eq \r(2). 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－eq \r(2)) －eq \r(2) (－eq \r(2)，eq \r(2)) eq \r(2) (eq \r(2)，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝eq \f(1,2)＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq \f(2,3)π或x＝eq \f(4,3)π. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x 0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)π)) eq \f(2,3)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，\f(4,3)π)) eq \f(4,3)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π，2π)) 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 ↗ 极大值：eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2) ↘ 极小值：eq \f(2,3)π－eq \f(\r(3),2) ↗ π ∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (对应训练二)已知函数f(x)＝－x3