专题四 导数与函数的极值-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题四 导数与函数的极值 基本知识点 1．函数极值的求法 求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时 (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值． 2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点． (3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点． (4)导数为0但不是极值点：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点． (5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0不可导，是极小值点． (6)不可导点不是极值点：y＝xeq \f(1,3)，x＝0不可导，不是极值点． 3．求可导函数y＝f(x)极值的步骤 (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值． 例题分析 一、求函数的极值 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 求下列函数的极值： (1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x；(2)f(x)＝x4－4x3＋5；(3)f(x)＝eq \f(ln x,x). 解析 (1)函数的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当x＝－1时，f(x)有极大值eq \f(5,3).当x＝3时，f(x)有极小值－9. (2)因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)． 令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3，＋∞) f′(x) － 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 不是极值 ↘ 极小值 ↗ 故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22. (3)函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2). 令f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值 ↘ 故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝eq \f(1,e). 归纳总结：1.求可导函数f(x)极值的步骤： (1)求函数的导数f′(x)； (2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内； (4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值． 2．注意事项： (1)不要忽略函数的定义域； (2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点． (对应训练一)函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________． 解析 y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，y′<0，函数是减函数， 当－1<x<1时，y′>0，函数是增函数， 当x>1时，y′<0，函数是减函数， 所以当x＝－1时，函数有极小值． 当x＝1时，函数有极大值． 答案 1　－1 (对应训练二)求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x. 解析　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；