专题三 导数与函数的单调性-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题三　导数与函数的单调性 基本公式 1．如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； 2．如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间． 3．如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数． 4．利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． 例题分析 一、导数与单调性的关系 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析　由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足． 答案　A 归纳总结：1.利用导数符号判断单调性的方法： 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． (对应训练一) (1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) A　 　　　　B　　 　　　C　 　　　D (2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) A　　　 　B　　　 　　C　　 　　D 解析　(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合． (2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的． 答案　(1)D　(2)A (对应训练二)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) 解析　由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D. 答案　D 二、求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间： (1)y＝eq \f(2,3)x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2. 解析　(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0， 解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)． 令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)． (2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)). y′＝eq \f(2,2x＋3)＋2x＝eq \f(4x2＋6x＋2,2x＋3)＝eq \f(22x＋1x＋1,2x＋3). 令y′＞0，解得－eq \f(3,2)＜x＜－1或x＞－eq \f(1,2). 所以函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). 令y′＜0，解得－1＜x＜－eq \f(1,2)， 所以函数的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))). 答案 (1) 单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)；单调递减区间为(0,2) (2) 单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))；单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) 归纳总结：利用导数求函数的单调区间： (1)求定义域； (2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)； (3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间． (4)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开． (5)导数法求得的单调区间一般用开区间表示． (对应训练一)求下列函数的单调区间