专题二 求导法则及复合函数求导-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题二 求导法则及复合函数求导 基本公式 一、导数运算法则 1．和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 2．积的导数：(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)． 3．商的导数：，g(x)≠0. ＝ 二、复合函数的导数： 复合函数的概念及求导法则 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.·＝ 例题分析 一、导数运算法则的应用 例1 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y＝x2－2x－4ln x；(2)y＝x·tan x；(3)y＝eq \f(x,ex)； (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (5)y＝x＋sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2). 解析 (1)y′＝2x－2－eq \f(4,x). (2)y′＝(x·tan x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsin x,cos x)))′＝eq \f(xsin x′cos x－xsin xcos x′,cos2x) ＝eq \f(sin x＋xcos xcos x＋xsin2x,cos2x)＝eq \f(sin xcos x＋x,cos2x). (3)y′＝eq \f(x′ex－x·ex′,ex2)＝eq \f(1－x,ex). (4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋eq \f(1,2)sin x ∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)sin x))′＝x′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin x))′＝1＋eq \f(1,2)cos x. 归纳总结：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． (对应训练一)求下列函数的导数：(1)y＝x2·ex；(2)y＝cos 2x；(3)y＝ln 8x；(4)y＝eq \f(2x,x). 解析　(1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)·ex. (2)令u＝2x，y＝cos u，则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′＝－2sin 2x. (3)令u＝8x，y＝ln u，则yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(8x)′＝8·eq \f(1,u)＝eq \f(1,x). (4)y′＝eq \f(2x′·x－2x·x′,x2)＝eq \f(2xln 2·x－2x,x2)＝eq \f(xln 2－1·2x,x2). (对应训练二)(1)设函数f(x)＝，则导数f′(1)的取值范围是(　　) x2＋tan θ，其中θ∈x3＋ A．[－2,2]　　　　 B．[，2] ，2] D．[] C．[， (2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________． 解析　(1)f′(x)＝sin θ·x2＋，cos θ＝2sincos θ·x，∴f′(1)＝sin θ＋ ∵θ∈，2]．∈[，∴2sin∈，∴sin (2)∵f′(x)＝(x≠0)． ＝ ∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得. ＝0，解得x0＝＋ 答案　(1)D　(2) 二、复合函数的导数 例2 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y＝eq \f(1,3－4x4)；(2)y＝cos(2 008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)． 解析　(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x. 则函数y＝eq \f(1,3－4x4)是由函数f(u)＝eq \f(1,u4)＝u－4 与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的． 查导数公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－eq \f(4,u5)，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs