专题一 基本初等函数的导数-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题一 基本初等函数的导数 基本公式 一、几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 y＝c y′＝0 y＝xn(n∈N＋) y′＝nxn－1，n为正整数 y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q) y′＝μxμ－1，μ为有理数 y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝axln a y＝ex y′＝ex y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y′＝ y＝ln x y′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x 例题分析 一、求简单函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(4)y＝log5x；(5)y＝cos； (6)y＝sin eq \f(π,6)；(7)y＝ln x；(8)y＝ex. (9)y＝3x；(10)y＝log5x 解析 (1)y′＝－3x－4. (2)y′＝3xln 3. (3)y′＝(x－)′＝)′＝(x (4)y′＝eq \f(1,xln 5). (5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝eq \f(1,x). (8)y′＝ex. (9)y′＝(3x)′＝3xln 3. (10)y′＝(log5x)′＝. 归纳总结：1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． (对应训练一)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________. 解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝.，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－ 答案　3x2－ (对应训练二)给出下列结论：①(cos x)′＝sin x；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq \f(π,3)；③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq \f(1,2x\r(x)).其中正确的个数是(　　) A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误； sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝(－x－ eq \s\up10(\f(1,2)) )′＝eq \f(1,2)x－ eq \s\up10(\f(3,2)) ＝eq \f(1,2x\r(x))，所以④正确，故选B. 答案　B 二、求某一点处的导数 例2 在曲线y＝f(x)＝eq \f(1,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解析　设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2xeq \o\al(－3,0)＝tan 135°＝－1， 即－2xeq \o\al(－3,0)＝－1，∴x0＝2 eq \s\up10(\f(1,3)) .代入曲线方程得y0＝2－ eq \s\up10(\f(2,3)) ， ∴点P的坐标为（2 eq \s\up10(\f(1,3)) ，2－ eq \s\up10(\f(2,3)) ）. 答案 （2 eq \s\up10(\f(1,3)) ，2－ eq \s\up10(\f(2,3)) ） 归纳总结：1.在某点处的导数与导函数是不同的，在某点处的导数是指在该点处的导数值． 2．求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解． (对应训练一) (1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在处的导数． 解析　(1)∵f′(x)＝. ＝－，∴f′(1)＝－＝－x－)′＝－＝(x－ (2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′.＝－＝－sin 答案