专题十二 数学归纳法-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题十二 数学归纳法 基本知识点 1．验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． 2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 例题分析 一、用数学归纳法证明等式 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 用数学归纳法证明： eq \f(12,1×3)＋eq \f(22,3×5)＋…＋eq \f(n2,(2n－1)(2n＋1))＝eq \f(n(n＋1),2(2n＋1))(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，eq \f(12,1×3)＝eq \f(1×2,2×3)成立． (2)假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有 eq \f(12,1×3)＋eq \f(22,3×5)＋…＋eq \f(k2,(2k－1)(2k＋1))＝eq \f(k(k＋1),2(2k＋1))， 则当n＝k＋1时，eq \f(12,1×3)＋eq \f(22,3×5)＋…＋eq \f(k2,(2k－1)(2k＋1))＋ eq \f((k＋1)2,(2k＋1)(2k＋3))＝eq \f(k(k＋1),2(2k＋1))＋eq \f((k＋1)2,(2k＋1)(2k＋3)) ＝eq \f((k＋1)(k＋2),2(2k＋3))， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 归纳总结： (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． (对应训练一)用数学归纳法证明：eq \f(1,2×4)＋eq \f(1,4×6)＋eq \f(1,6×8)＋…＋eq \f(1,2n×2n＋2)＝eq \f(n,4n＋1). 证明：(1)当n＝1时，左边＝eq \f(1,2×4)＝eq \f(1,8)，右边＝eq \f(1,8)，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立， 即eq \f(1,2×4)＋eq \f(1,4×6)＋eq \f(1,6×8)＋…＋eq \f(1,2k×2k＋2)＝eq \f(k,4k＋1)成立． 当n＝k＋1时， eq \f(1,2×4)＋eq \f(1,4×6)＋eq \f(1,6×8)＋…＋eq \f(1,2k×2k＋2)＋eq \f(1,2k＋2×2k＋4) ＝eq \f(k,4k＋1)＋eq \f(1,4k＋1k＋2)＝eq \f(kk＋2＋1,4k＋1k＋2) ＝eq \f(k＋12,4k＋1k＋2)＝eq \f(k＋1,4k＋2)＝eq \f(k＋1,4[k＋1＋1]). 所以n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可得，对一切n∈N*，等式成立． (对应训练二)求证：1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)(n∈N*)． 证明 (1)当n＝1时，左边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， 右边＝eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,2)，左边＝右边． (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立， 即1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)， 则当n＝k＋1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,2k－1)－\f(1,2k)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2k＋1)－\f(1,2k＋2))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f