专题五 等比数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题五 等比数列 基本公式 1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq \r(ab). 2．等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的判定 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq \f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}是等比数列． 4．等比数列的性质： (1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列． (2)若已知等比数列{an}中的任意两项an，am，由an＝am·qn－m可以求得公比q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(n－m,\f(an,am))n－m为奇数，,±\r(n－m,\f(an,am))n－m为偶数.)) (3)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝aeq \o\al(2,k). ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. (5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． 5．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qx的图象上的孤立点．·qn}中的各项的点是函数y＝与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qx(q≠1)是一个不为0的常数·qn，而y＝ 6．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列． ②{|an|}是公比为|q|的等比数列． ③{aeq \o\al(m,n)}(m为常数，m∈N*)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 7．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，等比数列{an}为递增数列； (2)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，等比数列{an}为递减数列． 8．等比数列连续几项的设法 (1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为：eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3. 例题分析 一、等比数列的通项公式 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 (1)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(1,32)，则项数n为(　　) A．3　　　　　B．4 C．5 D．6 (2)已知等比数列{an}为递增数列，且aeq \o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析　(1)因为an＝a1qn－1，所以eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq \f(1,32)，即e