专题四 等差数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题四 等差数列的前n项和 基本公式 一、等差数列的前n项和公式 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则前n项和Sn＝eq \f(n(a1＋an),2).把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝eq \f(n(a1＋an),2)中，就可以得到Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d. 二、等差数列前n项和的性质　 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2). 2．若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. 3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1). 4．对于等差数列，若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1). 5．等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 6．等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0. 例题分析 一、有关等差数列前n项和公式的计算 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 (1)将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和是781，则k的值为(　　) A．20　　 B．21 C．22　 D．24 (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　) A．7　　 B．6　　 C．3　　 D．2 (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝______. 解析　(1)由题可知781＝eq \f(4＋67k＋2,2)∴k＋2＝22，∴k＝20，故选A． (2)S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝4　① S4＝4a1＋6d＝20　② 由①②解得a1＝eq \f(1,2)，d＝3.故选C． (3)由6a1＋eq \f(6×5,2)d＝2,9a1＋eq \f(9×8,2)d＝5得a1＝－eq \f(1,27)，d＝eq \f(4,27)， 所以S15＝15a1＋eq \f(15×14,2)d＝15. 答案 (1) A (2) C (3)15 归纳总结：等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用． (对应训练一)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解析 S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝42，∴a4＝6. ∴Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na4＋an－3,2)＝eq \f(n6＋45,2)＝510. ∴n＝20. 答案 20 (对应训练二)已知等差数列{an}中， (1)a1＝eq \f(1,2)，S4＝20，求S6； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 解析　(1)S4＝4a1＋eq \f(44－1,2)d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3. 故S6＝6a1＋eq \f(66－1,2)d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. (2)由Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n－512＋1,2)＝－1 022，解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. 答案 (1)48 (2) －171 二、等差数列前n项和的性质 例2 (1)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　) A．12　　 B．14 C．16　　 D．18 (2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则e