专题三 等差数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题三　等差数列 基本知识点 1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a＋b＝2A． 3．等差中项的理解： (1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义． (2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项． 4．等差数列中项与序号的关系 (1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*). (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. 5．等差数列的判定方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列． (3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列． (4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列． (2)当d<0时，数列{an}为递减数列． (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 7．等差数列常用结论 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (3)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列. 8．试题中等差数列的对称项的设法 三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例题分析 一、等差数列的通项公式 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 (1) 2 000是等差数列4,6,8，…的(　　) A．第998项　　B．第999项 C．第1 001项　　D．第1 000项 (2)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项． 解析　(1)数列4,6,8，…的通项公式为an＝2n＋2.则2n＋2＝2 000.解得n＝999. (2)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75. 即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75. 答案 (1)B (2) an＝5－4n，a20＝－75. 归纳总结：解决等差数列通项公式的方法： (1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝a，,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式． (2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． (对应训练一)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d； 解析　(1)解法一：因为a5＝10，a12＝31，故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.)) 所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3. 解法二：a12＝a5＋7d⇒31＝10＋7d⇒d＝3. 由10＝a1＋(5－1)×3得a1＝－2. 所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3. 答案 首项是－2，公差是3 (对应训练二)等差数列{an}中， ①已知a3＝－2，d