第7章 三角函数（章节压轴题专练）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数章节压轴题专练 一、单选题 1．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假； 对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假. 【详解】 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题（4）是假命题． 故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型. 2．（2017·上海嘉定区·高一期末）设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ） A．若，则对任意实数恒成立； B．若，则函数为奇函数； C．若，则函数为偶函数； D．当时，若，则 （）． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题. 对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题. 对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题. 对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题. 【详解】 . 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题B是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题C是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题D是假命题． 故选：D 【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题. 3．（2019·上海复旦附中高一期中）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项. 【详解】设，则 即为奇函数 令 则， 可知的对称中心为 将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象 的对称中心为 当时，，不合题意，可知不可能为 又当时分别对应选项，可知均为的对称中心 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题. 二、填空题 4．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________. 【答案】 【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可. 【详解】 . 设，. 由题意可知，时，恒成立. 当对称轴时在上单调递减， 则，即 当对称轴时， 解得即 当对称轴时在上单调递增， 则，即 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题. 5．（2018·宝山区·上海交大附中高一期中）设函数，其中、为已知实常数，. 下列所有正确命题的序号是____________．　 ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数； ③若，则函数为偶函数； ④当时，若，则. 【答案】①②③④. 【分析】对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出； 对于②，根据奇函数的定义可得出结论； 对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结