第7章 三角函数（章节压轴题解题思路分析）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数章节压轴题解题思路分析 模块一：正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、单选题 1．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率判断①正确，取计算得到②④错误；根据和的几何意义判断③正确得到答案. 【详解】如图所示：，根据图像知，①正确； 取计算得到，，故②④错误； 表示中点的纵坐标；表示中点的横坐标对应函数值. 根据函数为凸函数知正确，即③正确.故选： 【点睛】本题考查了三角函数不等式的判断，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用. 2．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抽象为一个函数的两个函数值，分析函数的性质，利用函数值的关系，求出自变量的关系，进而求解. 【详解】，， ， 为奇函数，， ，，. 故选:C 【点睛】本题考查利用函数思想解决实际问题，考查概括抽象能力，属于较难题. 二、填空题 3．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________ 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，得出函数的解析式，再做出的图像，由图像可得两个图像要有两个不同的交点时的范围. 【详解】由已知得，在坐标系中做出图像如下：由图像可知最高点值为，最低点值为，要使在部分的图像与有两个不同的交点，则需要， 故答案为：. . 【点睛】本题主要考查分段函数的概念，正弦函数图象，先去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，结合图象确定参数的取值范围是解决此类题目的关键，属于中档题. 三、解答题 4．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记. (1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域； (2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. 【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．. 【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围． （2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值． 所以当时，即 或 时，L取得最大值为米． 【详解】由题意可得，，，由于 ，， 所以，， ， 即， 设，则，由于， 由于在上是单调减函数， 当时，即或时，L取得最大值为米． 【点睛】三角函数值域得不同求法： 1.利用和的值域直接求 2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域 3.通过换元，转化成其他类型函数求值域 5．已知函数． （1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期； （2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式； （3）在满足（2）的条件下，记，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【分析】（1）利用公式变形后借助于周期函数的定义来证明； （2）利用正弦函数的最大值在，最小值在，来求解； （3）利用等比数列的定义及通项公式，即可求证. 【详解】（1）∵ ∴ ∴为周期函数，为其一个周期 （2）取最大值时，令，则,即； 取最小值时，令，则,即. ∵函数在上取最大值、最小值时，所对应的的值按从小到大依次记为 ∴依次为 ∴ （3）证明：由（2）知，不是的整数倍. ∴ ∵ ∴ ∴是以为首项，为公比的等比数列 ∴ 【点睛】本题考查周期函数的性质、正弦函数的性质、等比数列的定义及其通项公式的应用，是一道综合题. 6．已知函数为偶函数. （1）求的取值集合； （2）若，且在上，函数与的图像有且仅有8个交点，求实数m的取值范围； （3）设集合，若含有10个元素，求的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】(1)由为偶函数，得一定具有的形式，运用辅助角公式化为,得; (2)直接得到函数解析式，做出图像运用数形结合的思想可得范围; (3)由的点就是的点，得出满足题意的不等式组,解之可得范围. 【详解】（1）由已知得，因为为偶函数,故，所以； 所以的取值集合为; （2）当时,，做出图像如下图所示,可得当其与有8个交点时,； （3）当时,即,所以,所以，为偶函数，有5个元素分别是，故只需要，即. 【点睛】本题综合考查正弦型函数的性质,由其性质得出函数的解析式,运用数形结合的思想解决交点的个数,或由交点的个数求解参数的范围是常用的方法,属于中档题. 7．已知函数. (1)当时,求函数的值域; (2)当时,求函数的单调递增区间; (3)当时,的反函数为,求的值. 【答案】(1);(2)和;