精做05 解析几何-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做05解析几何 一、圆锥曲线的方程 【例1】（2021. 河北省张家口市高三一模）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程． 【解析】（1）由题意，知，设点，则， ∴，得，整理得， 即双曲线的标准方程为． （2）由题意，知直线，设， 联立方程，得，整理得，故， ，而， ∴中点为，而外接圆圆心在的垂直平分线上，则， 又由焦点弦长公式，可知． 设圆心满足，解得 ∴半径，故外接圆方程为． (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． (2) 求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算． (3) 求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论． 【对点训练1】（2021. 安徽省江南十校高三3月一模）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程. 【解析】（1）由题意知，到点(0，2)的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以(0，2)为焦点， 为准线的抛物线(除去坐标原点)，则的方程为：. （2）由题意知，在曲线上，直线的斜率存在， 设方程为，因为直线不经过点，所以. 由可得， 设则 以为切点的切线方程为即， 同理以为切点的切线为， 由，故两式做差整理得：，所以，两式求和整理得：，故， 所以交点， 设到的距离为到的距离为， 则 设则当，即时，取最大值， 直线的方程为 二、直线与圆锥曲线 (一)弦中点与点差法的应用 【例2】（2021. 云南省昆明市高三复习检测）已知，是椭圆：上的两点. （1）若直线的斜率为1，求的最大值； （2）线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围. 【解析】（1）设直线的方程为，，， 联立方程，得， 所以，，， 所以， 当（满足）时，取得最大值. （2）设，，的中点， 第一种情况，若直线平行于轴，则线段的垂直平分线为轴，即， 第二种情况，若直线不平行于轴， 又因为线段的垂直平分线与轴相交，所以直线不平行于轴，即， 由，两式相减整理得 ①， 因为是的中点，所以，， 因为，所以， 所以①变形为，化简得，其中或， 所以或， 综上两种情况，的取值范围为. 在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率kAB＝，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程． 【对点训练2】(2021. 江西省重点中学协作体（高三下学期第一次联考) 已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意可知：，所以 设点，，A，B在椭圆上 ．．．．．．．．．．．．．．① ．．．．．．．．．．．．．．．② 因为 ．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得，即，所以 由③得 椭圆C方程为： （2）设直线联立得 ， 假设存在点D，则MD的直线方程为： 所以． 若为等边三角形则： 即，方程无实数解， 不存在这样的点D (二)直线与圆锥曲线位置关系及弦长问题 【例3】（2021. 广东省广州市天河区高三二模）设为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为直线上一点，是底角为的等腰三角