精做04 立体几何-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做04立体几何 一、空间中线面位置关系的证明 (一)平行关系的证明 【例1】（2021. 广东省韶关市高三一模）如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,. （1）若为中点,求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：连接交于点,连接. 因为四边形为正方形,所以为中点, 又为中点,所以. 因为平面,平面,所以平面； （2）如图,过作,垂足为,连接. 因为四边形为正方形,所以. 因为,平面,平面,所以,. 因为,,、平面,所以,平面. 因为,平面,所以平面平面. 因为,平面平面,,平面, 所以,平面,则为斜线在平面内的射影. 所以,为直线与平面所成的角. 在中,, 有,得. 因为,所以平面,在中,有. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. (1)证明线线平行,可以运用平行公理、中位线定理,也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形,或者运用线面平行的性质定理来证明； (2)证明直线和平面平行,通常有两种方法：一是利用线面平行的判定定理,只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；二是由面面平行的性质：如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第一种方法是常用方法,一般需要连接特殊点、画辅助线,再证明线线平行,从而得到线面平行．第二种方法常用于非特殊位置的情形． (3)证明面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 【对点训练1】（2021. 江西省五市九校协作体高三第一次联考）如图,已知四边形为菱形,对角线与相交于O,,平面平面直线,平面, （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）因为四边形为菱形,所以, 平面,平面 平面, 因为平面平面直线平面, 所以； （2）因为四边形为菱形,所以, 因为平面,所以以O为坐标原点、OA,OB,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 取CD中点M,连EM,OM, ,, 为正三角形,, , , 从而, 设平面一个法向量为, 则,即, 令, 设平面一个法向量为, 则,即, 令, , 因此二面角的余弦值为. (二)垂直关系的证明 【例2】（2021. 广东省广州市天河区高三二模）如图1,四边形为直角梯形,,,,.为线段上的点,且.将沿折起,得到四棱锥(如图2),使得. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【解析】（1）在图1中过点作交于点,在图2中取为的中点,连接和,则,因为且,所以为等边三角形,所以,在中,, 因为,所以,,在图2中,所以为等腰三角形,所以,在中,且,,,所以,所以,所以,所以,又,平面,所以平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,平面,所以平面平面； （2）连接交于,过点作交于点,由（1）知平面,所以且,因为,所以,如图建立空间直角坐标系,所以,,,,所以,,,设平面的法向量为,所以,令,则,取面的法向量, 所以,由图可知二面角为锐二面角,故其余弦值为 (1)判断(证明)线线垂直的方法 ①根据定义； ②如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c； ③如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c； ④向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． (2)证明直线和平面垂直的常用方法 ① 利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α； ②a∥b,a⊥α⇒b⊥α； ③利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β； ④利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ. (3)证明面面垂直的主要方法 ① 利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β； ② 用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角； ③ 如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ. (4)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (5)证明证明线面位置关系要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． 【对点训练2】（2021. 福建省名校联盟优质校高三大联考）如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,,,点是的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：连接,在中,因为,,,所以. 因为点是的中点,所以. 在中,,,,由余弦定哩,有, 所以,所以. 在中,,,满足, 所以,又, 所以平面. （2）如图,以点为坐标原