专题14 圆锥曲线的方程与几何性质-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题14 圆锥曲线的方程与几何性质 【要点提炼】 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)； (2)双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2)). ②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)). (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0). ②双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq \f(p,2). ②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq \f(p,2). 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2) eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). (2)过抛物线焦点的弦 抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. 【方法指导】 1、求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，就是指利用待定系数法求出方程中的 的值，最后代入写出的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程； 2、凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义将其转化为到准线的距离处理。 3、求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法： 求出 ，代入 公式求解； 4、根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 的方程或不等式，消去 后，转化为关于离心率 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围。 求解圆锥曲线与圆、直线的综合问题的四个注意点： 注意使用圆锥曲线的定义; 引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； 注意利用直线、园的几何性质； 注意把握几何关系和代数关系之间的转化。 命题点一 会解决圆锥曲线的方程及定义问题 【典例1】（1）（2020·全国高三专题练习）已知经过原点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点 在第二象限）， ， 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线 平分线段 ，且 ，则该椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知可得 ，设线段 的中点为 ， ，则 ，利用中点坐标公式求得 的坐标再由 列式求得 值，进一步得到 ，再由隐含条件求得 ，则椭圆方程可求. 【详解】 由 ，得 ，设线段 的中点为 ， ，则 ， 又 ， ， ， ， 点 、 、 在同一直线上， ，即 ， 化简即可求得 ， ，则 . 故椭圆方程为 . 故选：C 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法、椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. （2）、（2019·河北衡水市·高考模拟（理））已知双曲线 的两个焦点 都在 轴上，对称中心为原点，离心率为 ，若点 在 上，且 ， 到原点的距离为 ，则 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由直角三角形的性质可得 ，又 EMBED Equa