专题十三 其他几何探究问题-2021年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题十三 其他几何探究问题 1．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　 　； 证明： （2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D． 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 2．（2020•陕西）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 3．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 4．（2020•天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 ． 理解运用 （1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2，则它的面积为　　； （2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　2sinα：1　．（用含α的式子表示） 5．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证： （2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展： （3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 6．（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝　 　°； （2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK，求DF的长． 7．（2020•牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题： （1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．） （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，C