专题04 平面向量中的一题多解-2020-2021学年高中数学之平面向量解题技法全指导

专题04 平面向量中的一题多解 平面向量中有比较多的一题多解，很好地掌握它们，能很好地开拓解题思路，使得做这部分题目更能得心应手，更快更准确，还能提高解题能力。先结合实例展现如下： 例1．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． 例2.设O是⊿ABC的内部一点，且有,则⊿ABC的面积和⊿AOC的面积之比为（ ） A.3 B。 C。2 D。 例3.已知是两个单位向量，且。若点C在∠AOB内，且, 则，则 A. B.3 C. D. 例4.已知的坐标。 例5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． 小试牛刀 1.已知，若与反向，则=____________. 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是__________． 3．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________． 4.已知,点C在∠AOB内，且. 设（ ） A. B.3 C. D. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题04 平面向量中的一题多解 平面向量中有比较多的一题多解，很好地掌握它们，能很好地开拓解题思路，使得做这部分题目更能得心应手，更快更准确，还能提高解题能力。先结合实例展现如下： 例1．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． 方法一（投影法）：设向量，的夹角为θ，则·＝·＝||·||cosθ，由图可知，||cosθ＝||，所以原式等于||2＝1，要使·最大只要使向量在向量上的投影达到最大即可，因为在向量上的投影达到最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1. 方法二（基底法）：因为＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，明显随着E点在AB边上移动||max＝1，故(·)max＝1. 方法三（坐标法）：以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得·＝x×0＋1×1＝1.因为＝(1，0)，所以·＝x，因为1≥x≥0，所以(·)max＝1. 点评：不少求数量积的题目既可用基底法也可用建系法，不好建立坐标系时一般用基底法，好建立坐标系时，一般建系法比基底法要简洁些。 例2.设O是⊿ABC的内部一点，且有,则⊿ABC的面积和⊿AOC的面积之比为（ ） A.3 B。 C。2 D。 解法1：设AC,BC的中点分别为M,N,则由，得,即，∴M,O,N三点共线，且O为中位线MN上的一个三等分点，.故选A. 解法2：，.如图所示，以所在的OA,OD为邻边作平行四边形OAED,,对角线OE交AC于F. 由⊿OCF∽⊿AEF,得, ,.故选A.. 解法3：作,则,所以点O为⊿的重心。 , , 以上三式相加得，.又，, 即。 点评：解法1更简洁些，但它具有特殊性，解法3麻烦些，但具有一般性。 例3.已知是两个单位向量，且。若点C在∠AOB内，且, 则，则 A. B.3 C. D. 3.D 解法1： 同理。 解法2：如图，作矩形,则 ,在⊿中，, 。 例4.已知的坐标。 分析1：设，解关于x,y的方程组。 解法1：设，由得，。 。解方程组，得。 。 点评1：解法1用了方程组思想，想法非常自然，是一般解法，但在解方程组时有些繁琐。 分析2：利用共线向量定理设出向量。 解法2：。由得，， 。。 点评2：解法2利用共线向量设出向量，避免了解方程组，因此比解1要简便得多。 例5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． 解法1：由题意知△ABC为直角三角形，⊥，∴·＝0，cos∠BAC＝，cos∠BCA＝，∴和夹角的余弦值为－，和夹角的余弦值为－，∴·＋·＋· ＝20×＋15×＝－25. 解法2：∵||2＋||2＝||2，∴⊥，即·＝0， ∴·＋·＋·＝(＋)＝·＝－2＝－25. 解法3：, ,,. 点评：显然解法2、解法3比解法1要简单明。 小试牛刀 1.已知，若与反向，则=_