专题11 三角形中作辅助线造全等-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题11 三角形中作辅助线造全等 1、如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C点的坐标； （Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值； （Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值． 解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示： ∵CM⊥OA，AC⊥AB， ∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠MAC＝∠OBA， 在△MAC和△OBA中，， ∴△MAC≌△OBA（AAS）， ∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4， ∴OM＝6， ∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）， 故答案为（﹣6，﹣2）； （Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点， 则四边形OEDQ是矩形， ∴DE＝OQ， ∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PDQ中，， ∴△AOP≌△PDQ（AAS）， ∴AO＝PQ＝2， ∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2； （Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点， 则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT， ∴四边形OSFT是正方形， ∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG， ∴∠HFS＝∠GFT， 在△FSH和△FTG中，， ∴△FSH≌△FTG（AAS）， ∴GT＝HS， 又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4）， ∴OT═OS＝4， ∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4， ∴﹣4﹣m＝n+4， ∴m+n＝﹣8． 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE． （1）补全图形； （2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明； （3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值． 解：（1）如图1所示： （2）MD＝BE． 证明：延长AM交BC于点F，如图． ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM． ∵AD⊥AB， ∴∠MAD+∠BAM＝90°． ∴∠MAD+∠CAM＝90° ∵AB＝AC，AM平分∠BAC， ∴AF⊥BC． ∴∠C+∠CAM＝90°． ∴∠MAD＝∠C． 又∵AM＝CE，AD＝BC， ∴△AMD≌△CEB． ∴MD＝BE． （3）点M的位置如图2， ∵AB＝5，BC＝6， ∴AD＝BC＝6， ∴． ∴BM+BE的最小值为． 3、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长； （3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积． （1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH ∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴CD＝CE； （2）解：由（1）得△CDG≌△CEH， ∴DG＝HE， 由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， 设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得： OH2+CH2＝OC2 ∴x2+x2＝32 ∴（舍负） ∴OH＝ ∴OD+OE＝2OH＝； （3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH， ∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴DG＝HE， 由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， ∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG 在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3， ∴OH＝，CH＝ ∴， ∴S四边形OECD＝2S△OCG＝． 4、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝． （1）求CD的长． （2）动点P在边AB上从点A出发向点B