专题09 三角形中的相似证明问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题09 三角形中的相似证明问题 1、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． （1）证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）解：①∵EF∥AB， ∴＝＝， ∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE， ∴＝， 解得：BE＝4； ②∵＝， ∴＝， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45． 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． （1）求线段DE的长； （2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝2， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝4， ∵DE∥CA， ∴， ∴DE＝4； （2）∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴， ∴DF＝AG， ∵DE∥CA， ∴， ∴， ∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG， ∴． 3、如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，点D从点A出发沿A→C方向匀速运动，速度为1cm/s．点E是AC上位于点D右侧的动点，点M是AB上的动点，在运动过程中始终保持MD＝ME，DE＝2cm．过M作MN∥AC交BC于N，当点E与点C重合时点D停止运动．设△MDE的面积为S（cm2），点D的运动时间为t（s），S与t的函数关系如图②所示： （1）AC＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）设四边形MDEN的面积为y，求y的最大值； （3）是否存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似？如果存在，求t的值；如果不存在，说明理由． 解：（1）由函数图象知，当t＝4时，AD＝4，点E与点C重合， ∵DE＝2， ∴AC＝4+2＝6， 当t＝0时，S＝2， 点A与点D重合， 如图1，过M作MH⊥AC于H， ∵DE＝2， ∴MH＝2， ∵MD＝ME， ∴AH＝EH＝1， ∵∠C＝90°， ∴MH∥BC， ∴△AHM∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝12 故答案为：6，12； （2）如图2，过M作MH⊥AC于H， ∵MD＝ME，DE＝2， ∴DH＝DE＝1， ∴AH＝t+1， ∵tanA＝＝2， ∴MH＝2t+2， ∵MN∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠MNC＝90°， ∵MH⊥DE， ∴∠MNC＝∠C＝∠MHC＝90°， ∴四边形MHCN是矩形， ∴MN＝HC＝AC﹣AH＝6﹣（t+1）＝5﹣t， ∴y＝S△MDE+S△MNE＝＝﹣t2+6t+7＝﹣（t﹣3）2+16， 由题意得，0≤t≤4， ∴当t＝3时，y由最大值是16； （3）假设存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似， ∵MN∥AC， ∴∠MED＝∠EMN， ①当∠MNE＝∠EDN时，△ENM∽△MDE， ∴， ∴MN＝ED， ∴5﹣t＝2， ∴t＝3； ②当∠MEN＝∠EDM时，△NEM∽△MDE， 此时，NE＝NM＝5﹣t， ∵∠ACB＝90°， ∴EC2+NC2＝EN2， ∴（4﹣t）2+（2t+2）2＝（5﹣t）2， 解得：t＝（负值舍去）， ∴存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似，此时，t＝3或． 4、如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F． （1）求证：∠ABE＝∠EAF； （2）求证：AE2＝EF•EC； （3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长． （1）证明：∵EB＝EC， ∴∠EBC＝∠C， ∵AG⊥BD，BG＝GD， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C， ∴∠ABE＝∠DAC， 即∠ABE＝∠EAF． （2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE， ∴△AEF∽△BEA， ∴＝， ∴AE2＝EF•EB， ∵EB＝EC， ∴AE2＝EF•EC． （3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE． ∵AG垂直平分线段BD， ∴JB＝JD， ∴∠JBD＝∠JDG， ∵∠JBD＝∠C， ∴∠JDB＝∠C， ∴DJ∥AC， ∴∠AEF＝∠DJF， ∵AF＝DF