专题08 三角形中的全等证明问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题08 三角形中的全等证明问题 1、已知：在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，点B在AC的延长线上，且CB＝DA，过点B作BE⊥AB，过点C作CE⊥CD交BE于点E． （1）如图1，求证：CD＝CE； （2）如图2，连接DE，过点A作AF∥DE，分别交BE，CE于点F，G，求∠AGC的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，CF，若∠EAF+∠ECF+∠BFC＝45°，求证：AE＝BC+2BF． （1）证明：∵CE⊥CD，BE⊥AB，∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EBC＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BEC， 在△ACD和△BEC中，， ∴△ACD≌△BEC（AAS）， ∴CD＝CE； （2）解：由（1）得：CD＝CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝45°， ∵AF∥DE， ∴∠AGC＝∠CED＝45°； （3）证明：过点F作FM∥AE，交DA延长线于M，交AB于N，过点C作CK⊥FM于K，如图3所示： ∵∠EAF+∠ECF+∠BFC＝45°，∠AGC＝45°， ∴∠EAF+∠ECF+∠BFC＝∠AGC， 又∵∠EAF＝∠AGC﹣∠AEG，∠ECF＝∠BFC﹣∠CEF， ∴∠AGC﹣∠AEG+∠BFC﹣∠CEF+∠BFC＝∠AGC， ∴∠AEG+∠CEF＝2∠BFC，即∠AEB＝2∠BFC， ∵FM∥AE， ∴∠BFM＝∠AEB＝2∠BFC， ∴∠BFC＝∠KFC， 在△BCF和△KCF中，， ∴△BCF≌△KCF（AAS）， ∴BC＝KC，BF＝KF， ∵∠DAB＝∠B＝90°， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴AD∥BE， ∴∠DAE＝∠FEA， ∵AF∥DE， ∴∠DEA＝∠FAE， 在△ADE和△EFA中，， ∴△ADE≌△EFA（ASA）， ∴AD＝EF， 同理△AEF≌△FMA， ∴AE＝FM，AM＝EF， ∴AM＝AD＝CB＝KC， 在△AMN和△KCN中，， ∴△AMN≌△KCN（AAS）， ∴AN＝KN，MN＝CN， ∴KN+MN＝AN+CN，即MK＝CA， ∴MK＝BE， ∴AE＝FM＝MK+FK＝BE+BF＝EF+BF+BF＝BC+2BF． 2、在平面直角坐标系中，点O为原点，点C在y轴正半轴上，B（﹣2，0），∠OCB＝30°，AC⊥BC交x轴于点A． （1）求A点的坐标； （2）一动点E从点A出发沿着AC向终点C运动，速度为每秒1个单位长度，过点E作y轴的平行线，交直线BC于点M，设点E运动时间为t，线段EM的长为d，求出d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，另一动点F从点B出发沿着BC向终点C运动，速度为每秒1个单位长度，点E、点F同时出发，并且一个到达终点另一个也停止运动，连接EF，以EF为斜边作等腰直角△EFN，连接BN，CN，当t为何值时，△CNB为直角三角形． 解：（1）在Rt△OCB中，∠OCB＝30°， ∴BC＝2OB＝4， 由勾股定理得，OC＝＝2， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＝60°， ∴∠OAC＝30°， ∴AC＝2OC＝4， 由勾股定理得，OA＝＝6， ∴A点的坐标为（6，0）； （2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得，， ∴直线BC的解析式为：y＝x+2， 如图1，由题意得，AE＝t， ∵∠OAC＝30°， ∴EG＝t， 由勾股定理得，AG＝＝t， ∴OG＝6﹣t， ∴点M的坐标为（6﹣t，8﹣t） ∴d＝EM＝8﹣t﹣t＝﹣2t+8（0＜t≤4）； （3）如图2，∠CBN＝90°， 作EH⊥BN交BN的延长线于点H， ∵∠CBN＝90°，EH⊥BN，∠BOE＝90°， ∴四边形CBHE为矩形， ∴BH＝CE＝4﹣t， ∵∠ENF＝90°，∠FBN＝90°， ∴∠NFB＝∠ENH， 在△NFB和△ENH中， ， ∴△NFB≌△ENH（AAS） ∴BN＝EH＝4，BF＝EN＝t， ∴4+t＝4﹣t， 解得，t＝2﹣2， 如图3，∠CNB＝90°， 同理可知，△BNF≌△CNE（AAS） ∴BF＝CE， ∴t＝4﹣t， 解得，t＝2， 综上所述，t＝2﹣2或2时，△CNB为直角三角形． 3、已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交 于点O． （1）如图1，求证：∠BOC＝90°+∠BAC； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC； （3）如图3，若∠BAC＝60°，BD＝4，CE＝2，求的值． （1）证明：∵BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BA