专题07 三角形中的面积综合问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题07 三角形中的面积综合问题 1、如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D． （1）求证：∠AOB＝90°+∠C； （2）求证：AE+BF＝EF； （3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝　 　（直接写出结果）． 证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC， ∴∠OAB＝∠OAE＝∠BAC，， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝ （2）∵EF∥AB， ∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF 又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF， ∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF， ∴AE＝OE，BF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝AE+BF； （3）∵点O在∠ACB的平分线上， ∴点O到AC的距离等于OD， ∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab， 故答案为：ab． 2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证：AD＝2DC． （2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由． 证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DC＝DE， ∵∠A＝30°，DE⊥AB， ∴AD＝2DE， ∴AD＝2DC； （2）如图2，过点M作ME∥BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∵BM平分∠CBD， ∴∠CBM＝15°＝∠DBM， ∵ME∥BD， ∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE， ∴ME＝BE， ∵∠MEC＝30°，∠C＝90° ∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE， ∴BC＝+2， ∵∠CBD＝30°，∠C＝90°， ∴BC＝CD， ∴CD＝1+， ∴DM＝， ∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+； （3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN， 理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD， ∵DN＝DW，且∠WDN＝60° ∴△WDN是等边三角形， ∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°， ∴∠WNG＝∠BND， 在△WGN和△DBN中， ∴△WGN≌△DBN（SAS）， ∴BD＝WG＝DG+DN， ∴AD＝DG+DN． （3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN， 理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN， 由（1）得DA＝DB，∠A＝30°． ∵DE⊥AB于点E． ∴∠2＝∠3＝60°． ∴∠4＝∠5＝60°． ∴△NDH是等边三角形． ∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°． ∴∠H＝∠2． ∵∠BNG＝60°， ∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7． 即∠DNG＝∠HNB． 在△DNG和△HNB中， ∴△DNG≌△HNB（ASA）． ∴DG＝HB． ∵HB＝HD+DB＝ND+AD， ∴DG＝ND+AD． ∴AD＝DG﹣ND． 3、如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F． （1）求证．AD＝FD； （2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式； （3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长． 证明：（1）如图1，连接AF， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝120°， ∵CP平分∠ACE， ∴∠ACP＝∠PCE＝60°， ∴∠ADF＝∠ACP＝60°， ∴A、D、C、F四点共圆， ∴∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠ADF＝∠AFD＝60°， ∴∠DAF＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝FD； （2）如图2，过点A作AH⊥BC， ∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝BH＝， ∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1， ∵DF＝＝， ∴y＝ （3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为， ∴DF2＝， ∴DF2＝＝x2﹣2x+4 ∴x＝ ∴BD＝或 4、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，点F分别在边AB，AD上，AE＝DF＝2，连接DE，CF交于点G．连接AC与DE交于点M，延长CB至点K，使BK＝3，连接GK