专题06 三角形中的线段长度问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题06 三角形中的线段长度问题 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE． （1）补全图形； （2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明； （3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值． 解：（1）如图1所示： （2）MD＝BE． 证明：延长AM交BC于点F，如图． ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM． ∵AD⊥AB， ∴∠MAD+∠BAM＝90°． ∴∠MAD+∠CAM＝90° ∵AB＝AC，AM平分∠BAC， ∴AF⊥BC． ∴∠C+∠CAM＝90°． ∴∠MAD＝∠C． 又∵AM＝CE，AD＝BC， ∴△AMD≌△CEB． ∴MD＝BE． （3）点M的位置如图2， ∵AB＝5，BC＝6， ∴AD＝BC＝6， ∴． ∴BM+BE的最小值为． 2、已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O． （1）求证：EF⊥DA． （2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长． 解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点， ∴DE＝AE＝BC， ∴∠EDA＝∠EAD， ∵DC∥AE， ∴∠ADC＝∠EAD， ∴∠ADC＝∠EDA， ∵DF＝DE， ∴EF⊥DA； （2）∵BC＝4， ∴DE＝BC＝2， ∵DE＝AE，， ∴DO＝AD＝， 在Rt△DEO中，EO＝＝1， ∵DF＝DE， ∴EF＝2EO＝2． 3、如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长 解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝4×＝4． （2）①如图2中， ∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP， ∵AE＝EB， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠PEB＝90°， ∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°． ②如图3中，由（1）可知：AC＝＝， ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°， ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴＝，即＝， ∴AF＝2， 在Rt△AFP，AF＝FP， ∴AP＝AF＝2． 4、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长； （3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积． （1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH ∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴CD＝CE； （2）解：由（1）得△CDG≌△CEH， ∴DG＝HE， 由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， 设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得： OH2+CH2＝OC2 ∴x2+x2＝32 ∴（舍负） ∴OH＝ ∴OD+OE＝2OH＝； （3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH， ∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴DG＝HE， 由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， ∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG 在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3， ∴OH＝，CH＝ ∴， ∴S四边形OECD＝2S△OCG＝． 5、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝． （1）求CD的长． （2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速