专题05 三角形中的对称综合问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题05 三角形中的对称综合问题 1、如图1，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点． （1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）直接写出AA1的长度； （3）如图2，A、C是直线MN同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小．（保留作图痕迹） 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）AA1的长度为：2×5＝10； （3）如图所示：点D即为所求，此时AD+DC最小． 2、如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣5，2） （Ⅰ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，并写出△ABC上任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D1的坐标． （Ⅱ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）对称的△A2B2C2，其中，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2． 解：（Ⅰ）如图所示，△A1B1C1即为所求， 任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D1的坐标为（﹣x，y）； （Ⅱ）如图所示，△A2B2C2即为所求． 3、发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数； 拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论． 解：（1）∠1+∠2＝2∠A； 理由：根据翻折的性质，∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°， 整理得2∠A＝∠1+∠2； （2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°， ∴∠A＝50° ∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+×50°＝115°； （3）∵BF⊥AC，CG⊥AB， ∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°， ∠FHG+∠A＝180°， ∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A， 由（1）知∠1+∠2＝2∠A， ∴∠A＝（∠1+∠2）， ∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）． 4、动手操作，探究填空： 请准备一个锐角三角形的纸片，三个顶点分别标上字母A、B、C，并标出AB边的中点D及AC边的中点E． （1）把△ABC沿DE对折，观察点A是否落在边BC上？ 答：点A　 　（填“在”或“不在”）边BC上； （2）在（1）的基础上将△ACE对折，使线段CE与EA重合，此时点A是否与点C重合折出的图形中有几个直角？ 答：点A与点C　 　（填“重合”或“不重合”）；图形中有　 　个直角； （3）在（1）（2）的基础上将△ADB对折，使线段DB与DA重合，观察折得的图形，说出新图形的名称是　 　形； （4）经过以上折叠，原△ABC的三个内角是否合并到一起了？这又说明何道理？ 答：原△ABC的三个内角　 　合并到一起；（填“已经”或“没有”） 说明的道理是：　 　． 解：（1）在； （2）重合，2； （3）长方形； （4）已经，说明的道理是三角形内角和为180°． 5、小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE． （1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为　 　cm； （2）如果∠B＝35°，则∠CAD＝　 　度； 操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长． 解：操作一： （1）由折叠可得，DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴△ACD的周长为AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝8+6＝14（cm） 故答案为：14； （2）由折叠可得，DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝35°， 又∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∴∠CAD＝55°﹣35°＝20°， 故答案为：20； 操作二： 设CD＝DE＝x，则BD＝12﹣x， Rt△ABC中，AB＝＝15， 由折叠可得，AE＝AC