类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题 【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值； （3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M（3，0），N（0，﹣ ） 【解析】 【分析】 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值； （3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可． 【详解】 （1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6， 得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示． 当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6， ∴点C的坐标为（0，6）． 设直线BC的解析式为y＝kx+c， 将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6． 设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6）， ∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m， ∴ ， ∴当 时，△PBC面积取最大值，最大值为 ． ∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ∴0＜m＜3． （3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似． 如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D， ∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM， ∴△MCD∽△NCM， 若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似， 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6）， ∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a， 当 时，△COB∽△CDM∽△CMN， ∴ ， 解得，a＝1， ∴M（1，8）， 此时 ， ∴N（0， ）， 当 时，△COB∽△MDC∽△NMC， ∴ ， 解得 ， ∴M（ ， ）， 此时N（0， ）． 如图3，当点M位于点C的下方， 过点M作ME⊥y轴于点E， 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6）， ∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a， 同理可得： 或 ，△CMN与△OBC相似， 解得 或a＝3， ∴M（ ， ）或M（3，0）， 此时N点坐标为，N（0， ）或N（0，﹣ ）． 综合以上得，M（1，8），N（0， ）或M（ ， ），N（0， ）或M（ ， ），，N（0， ）或M（3，0），N（0，﹣ ），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似． 【点睛】 此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最大值，相似三角形的判定与性质，以及渗透分类讨论思想． 【典例2】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线 经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线 及x轴分别交于点D、M． ，垂足为N．设 ． ①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值； ②当点P在直线 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使 与 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）-2， ，1；（3）存在，（3，-2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线 经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线 可得答案； （2）①由题意得P（m， ），D（m， ）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值； ②先证明 ，得出 ，再根据 与 相似得出 ，则 ，可得出 ，求出点P的纵坐标，代入抛物线 ，即可求得点P的横坐标． 【详解】 解：（