类型四 二次函数与角度有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型二二次函数与角度问题 【典例1】已知抛物线 过点 和 ，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段 上方的抛物线上一点， ，垂足为F， 轴，垂足为M，交 于点G．当 时，求 的面积； （3）如图2， 与 的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 ？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）存在， EMBED Equation.DSMT4 , 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标； （2）先求出BC的解析式 ，再设直线EF的解析式为 ,设点E的坐标为 ，联立方程求出点F，G的坐标，根据 列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到 ，设点 ，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明 ，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标． 【详解】 （1）把点A（-1，0），C（0，3）代入 中， ， 解得 ， ， 当 时，y=4， （2） 令 或x=3 设BC的解析式为 将点 代入，得 ， 解得 ， 设直线EF的解析式为 ,设点E的坐标为 ， 将点E坐标代入 中，得 ， 把x=m代入 即 解得m=2或m=-3 ∵点E是BC上方抛物线上的点 ∴m=-3舍去 ∴点 （3）过点A作AN⊥HB， ∵点 ∵点 ，点 设 ，把（-1，0）代入，得b= 设点 过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR 且点S的坐标为 若 在 和 中， 或 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解． 【典例2】在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为N． （1）若此抛物线过点 ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接 ，C为抛物线上一点，且位于线段 的上方，过C作 垂直x轴于点D， 交 于点E，若 ，求点C坐标； （3）已知点 ，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当 时，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）C（-2,4）（3） ． 【解析】 【分析】 （1）把 代入 即可求解； （2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解； （3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解． 【详解】 （1）把 代入 得-9-3k-2k=1 解得k=-2 ∴抛物线的解析式为 ； （2）设C（t, ）,则E（t, ）, 设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得 解得 ∴直线AB的解析式为y=x+4 ∵E（t, ）在直线AB上 ∴ =t+4 解得t=-2（舍去正值）， ∴C（-2,4）； （3）由 =k（x-2）-x2, 当x-2=0即x=2时，y=-4 故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4） 二次函数的顶点为N（ ） 1°如图，过H点做HI⊥x轴，若 ＞2时，则k＞4 ∵ ，H（2，-4） ∴MI= ， ∵HI=4 ∴tan∠MHI= ∴∠MHI=30° ∵ ∴∠NHI=30° 即∠GNH=30° 由图可知tan∠GNH= 解得k=4+2 ，或k=4（舍） 2°如图，若 ＜2，则k＜4 同理可得∠MHI=30° ∵ ∴HN⊥IH，即 解得k=4不符合题意； 3°若 =2，N、H重合，舍去． ∴k=4+2 ∴抛物线的解析式为 ． 【典例3】已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点. 求此抛物线的解析式； （2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3）， ∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴设抛物线的解析式为． ∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1． 即抛物线的解析式为． （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线可得 点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB=． ∴PC=AC－PA=． 在Rt△BPC中，tan∠BCP==2． 在Rt△