类型三 二次函数与面积有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三二次函数与图形面积问题 【典例1】已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，二次函数的图象过 两点，交 轴于另一点 ， ，且对于该二次函数图象上的任意两点 ， ，当 时，总有 ． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线 ，求证：当 时， ； （3） 为线段 上不与端点重合的点，直线 过点 且交直线 于点 ，求 与 面积之和的最小值． 【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） 的最小值为 ． 【解析】 【分析】 （1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可； （3）先求出q的值，利用 ，得出 ，设 ，然后用含t的式子表示出 的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）对于 ， 当 时， ，所以 ； 当 时， ， ，所以 ， 又因为 ，所以 或 ， 若抛物线过 ，则当 时， 随 的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过 ，则当 时，必有 随 的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为 ， 依题意，二次函数的图象过 ， 两点， 所以 ，解得 所求二次函数的表达式为 ． （2）当 时，直线 与直线 不重合， 假设 和 不平行，则 和 必相交，设交点为 ， 由 得 ， 解得 ，与已知 矛盾，所以 与 不相交， 所以 ． （3）如图， 因为直线 过 ，所以 ， 又因为直线 ，所以 ，即 ， 所以 ， ， 所以 ，所以 ， 设 ，则 ， ， 所以 ， 所以 所以当 时， 的最小值为 ． 【点睛】 本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ，点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若 ，求点 的坐标； （3）连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标． 【答案】（1） ；（2）（ ， ）；（3） 面积的最大值是8；点 的坐标为（ ， ）． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可； （2）由 ，则点P的纵坐标为 ，代入解析式，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则 ，设点P为（ ， ），则点D为（ ， ），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可． 【详解】 解：（1）在抛物线 中， 令 ，则 ， ∴点C的坐标为（0， ）， ∴OC=2， ∵ ， ∴ ， ， ∴点A为（ ，0），点B为（ ，0）， 则把点A、B代入解析式，得 ，解得： ， ∴ ； （2）由题意，∵ ，点C为（0， ）， ∴点P的纵坐标为 ， 令 ，则 ， 解得： ， ， ∴点P的坐标为（ ， ）； （3）设直线AC的解析式为 ，则 把点A、C代入，得 ，解得： ， ∴直线AC的解析式为 ； 过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图： 设点P 为（ ， ），则点D为（ ， ）， ∴ ， ∵OA=4， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 取最大值8； ∴ ， ∴点P的坐标为（ ， ）． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标; （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积; （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【解析】解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ∵点P在抛物线上 ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE= ∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= (3)． 假设存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （