类型二 二次函数与线段有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型一二次函数与线段问题 【典例1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为( ， )；（2）P(3，12)；（3）( ， )或( ， ) 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x )2＋ ， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（ ， ）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值． 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6． 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF． ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴． 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝ 时，y＝ ， ∴F（ ， ）， ∴点N的纵坐标为 ． ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝ ，解得，x1＝ 或x2＝ ， ∴点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键． 【典例2】如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 图1-2 图1-3 【典例3】如图，抛物线 与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N． 在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝ ，MH＝ ，NH＝1．所以M( , 0)，N(4, 1)． 图2-2 【典例4】如图3-1，抛物线 与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)． 绝对值|PA－PB|的最小值