类型一 二次函数公共点问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型一二次函数公共点问题 【典例1】平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， ， ，顶点 不在第一象限，线段 上有一点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ， ． （1）用含 的式子表示 ； （2）求点 的坐标； （3）若直线 与抛物线 的另一个交点 的横坐标为 ，求 在 时的取值范围（用含 的式子表示）． 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）当 时，有 ＜ ＜ 【解析】 【分析】 （1）把 代入： ，即可得到答案； （2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与 的交点为 ，确定顶点的位置，分情况利用 ，求解 ，从而可得答案； （3）分情况讨论，先求解 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：（1）把 代入： ， （2） 抛物线为： 抛物线的对称轴为： 顶点 不在第一象限， 顶点 在第四象限， 如图，设 ＜ 记对称轴与 的交点为 ， 则 ， 当 ＞ 同理可得： 综上： 或 （3） 当 ，设 为： 解得： 为 消去 得： 由根与系数的关系得： 解得： 当 时， 当 时， 当 时， ， 当 时，有 ＜ ＜ 当 ， 同理可得 为： 同理消去 得： 解得： 此时，顶点在第一象限，舍去， 综上：当 时，有 ＜ ＜ 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求解抛物线解析式； （2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 ，点O、B、C的对应点分别为点 ， ， ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式； （3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2） ；（3）存在， ． 【解析】 【分析】 （1）运用待定系数法解答即可； （2）分0<t<1、 、 三种情况解答即可； （3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有 、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可． 【详解】 解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得： ，解得： ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3； （2）∵y=-x2-2x+3= ∴抛物细的顶点坐标为（-1,4） ∵A(-3,0)在直线AD上 设抛物线解析式为y=kx+b 则有 ，解得： ∴直线AD的解析式为y=2x+6, 当 在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=- ①如图所示，当0<t<1时， ∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t ∵O＇C//OC ∴△ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∽△O M ∴ ,即 ，解得：OM=3(1-t) S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇ = ②当 时， 完全在四边形AOCD内， ③当 时，如图所示，过G点作GH⊥ ，设HG=x， ∵GH//AB ∴ ,∠HGK=∠KAO ∵ ∴ ∴ ， ∵直线AD的解析式为y=2x+6, ∴ ∴ , ∴ ,KO＇=2AO＇ ∴ ∵ ∴ ∵O＇C＇= C＇K+AO＇ ∴ ∴ S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK = ∴ 综上： ； （3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n） ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ =- ∴ ，即 ∴ ． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 【典例3】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点G的坐标； （2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 【分析】（1）