类型三 与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三 与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形） 【典例1】若一个扇形的圆心角为60°，面积为eq \f(π,6)cm2，则这个扇形的弧长为________cm(结果保留π)． 【答案】eq \f(π,3)　 【解析】设这个扇形的半径为r cm，则eq \f(60πr2,360)＝eq \f(π,6)，解得r＝1(负值舍去)，∴这个扇形的弧长为eq \f(60π×1,180)＝eq \f(π,3). 【典例2】小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得eq \o(ACB,\s\up8(︵))的长为36 cm，则eq \o(ADB,\s\up8(︵))的长为________cm. 【答案】12　 【解析】设⊙O的半径为r，则可列方程：eq \f(（360－90）πr,180)＝36，解得r＝eq \f(24,π)，∴eq \o(ADB,\s\up8(︵))的长为eq \f(90π·\f(24,π),180)＝12 cm. 【典例3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(　　) A. 1－eq \f(π,4) B. eq \f(π－1,4) C. 2－eq \f(π,4) D. 1＋eq \f(π,4) 【答案】A　 【解析】如解图，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝eq \f(1,2)AB，∵∠ACB＝90°，AC＝eq \r(2)，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S阴影＝S△ABC－S扇形ECF＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)－eq \f(90π×12,360)＝1－eq \f(π,4). 【典例4】如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆．则图中阴影部分的面积为(　　) A. 24eq \r(3)－4π B. 12eq \r(3)＋4π C. 24eq \r(3)＋8π D. 24eq \r(3)＋4π 【答案】A　 【解析】正六边形的面积为eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)×6＝24eq \r(3)，六个小半圆的面积为π·22×3＝12π，中间大圆的面积为π·42＝16π，所以阴影部分的面积为24eq \r(3)＋12π－16π＝24eq \r(3)－4π. 【典例5】如图，已知点C, D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为eq \f(1,3)π，则图中阴影部分的面积为(　　) A. eq \f(1,6)π B. eq \f(3,16)π C. eq \f(1,24)π D. eq \f(1,12)π＋eq \f(\r(3),4) 【答案】A　 【解析】如解图，连接OC、OD、CD，∵点C、D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S阴影＝S扇形COD，∵eq \o(CD,\s\up8(︵))的长为eq \f(1,3)π，∴eq \f(60πr,180)＝eq \f(1,3)π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形COD＝eq \f(60π×12,360)＝eq \f(1,6)π. 【典例6】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为(　　) A. 4π B. 6 C. 4eq \r(3) D. eq \f(8,3)π 【答案】D　 【解析】由题意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋转的性质，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝eq \f(BC,A1C)＝eq \f(1,2).∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面积为eq \f(60×π×42,360)＝eq \f(8,3)π.即线段CA扫过的图形的面积为eq \f(8,3)π. 【典例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则eq \o(DE,\s\up8(︵))的长为(　　) A. eq \f(4π,3) B. π C. eq \f(2π,3) D. eq \f(π,3) 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝eq \r(3)，∠ABE＝90°，∴cos∠BAE＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴eq