类型二 与切线有关的证明与计算-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型二与切线有关的证明与计算 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB； （2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△CBA与Rt△DAB中，， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）； （2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF， ∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圆O所在圆的切线， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E， ∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴AC平分∠DAB． 【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 【典例2】如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 是 的切线， 为切点， 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）2 【解析】 【分析】 （1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到OE＝ BD＝ ×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B， ∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°， ∴∠CDA＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠AOF＝∠ADC； （2）∵OF∥BD，AO＝OB， ∴AE＝DE， ∴OE＝ BD＝ ×8＝4， ∵sinC＝ ＝ ， ∴设OD＝x，OC＝3x， ∴OB＝x， ∴CB＝4x， ∵OF∥BD， ∴△COF∽△CBD， ∴ ， ∴ ， ∴OF＝6， ∴EF＝OF−OE＝6−4＝2． 【点睛】 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【典例3】如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ， 的延长线交 于点 ， 是 上不与 重合的点， ． （1）求 的大小； （2）若 的半径为3，点 在 的延长线上，且 ，求证： 与 相切． 【答案】（1）60°；（2）详见解析 【解析】 【分析】 (1)连接OB，在Rt△AOB中由 求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值； (2)连接OF，在Rt△OBF中，由 可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】 解：(1)连接 ， ∵ 与 相切于点 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，则 ． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ． 故答案为： ． (2)连接 ， 由(1)得 ， ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 在 与 中， ∴ ， ∴ ． 又点 在 上，故 与 相切． 【点睛】 本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 【典例4】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】 【分析】 (1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】 （1）证明：连接OC ∵CD与⊙O相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠ABE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）连接AC ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=B