类型一 圆的基本性质证明与计算-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型一圆的基本性质证明与计算 【典例1】如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】D 【解析】 【分析】 首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数. 【详解】 解：连接BE, ∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°, ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°, ∴∠BOD＝2∠BED＝90°. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键. 【典例2】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．110° C．130° D．140° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】 ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【典例3】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】 解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 【典例4】如图，在 中， ，以点O为圆心，2为半径的圆与 交于点C，过点C作 交 于点D，点P是边 上的动点．当 最小时， 的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 延长CO交 于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可． 【详解】 延长CO交 于点E，连接ED，交AO于点P，如图， ∵CD⊥OB， ∴∠DCB=90°, 又 ， ∴∠DCB=∠AOB， ∴CD//AO ∴ ∵OC=2，OB=4， ∴BC=2, ∴ ，解得，CD= ； ∵CD//AO， ∴ ，即 ，解得，PO= 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【典例5】如图， 是 的内接三角形， ， 是直径， ，则 的长为（） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 连接BO，根据圆周角定理可得 ，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】 如图，连接OB， ∵ 是 的内接三角形， ∴OB垂直平分AC， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ , 又∵AD=8， ∴AO=4， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故答案选B． 【点睛】 本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键． 【典例6】如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ．连接 ， ．如果 ， ，那么图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 是 的直径，弦 ，由垂径定理得 ，再根据 证得 ，即可证明 ，即可得出 ． 【详解】 解： 是 的直径，弦 ， ， ． 又 在 和 中， ， 故选：B 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出 ，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中． 【典例7】如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2 ．则BO的长是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD