解密08 正、余弦定理及解三角形（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练

解密08 正、余弦定理及解三角形 1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 中， ， ， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 EMBED Equation.DSMT4 故 . 故选：A. 2．（2018·全国高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 3．（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 【答案】 【详解】 ， ， ， 由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 . 故答案为： . 4．（2019·全国高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为__________. 【答案】 【详解】 由余弦定理得 ， 所以 ， 即 解得 （舍去） 所以 ， 5．（2020·全国高考真题（理）） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）由正弦定理可得： ， ， ， . （2）由余弦定理得： ， 即 . （当且仅当 时取等号）， ， 解得： （当且仅当 时取等号）， 周长 ， 周长的最大值为 . 6．（2019·全国高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2) . 【详解】 (1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，消去 得 ． EMBED Equation.DSMT4 ， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故 不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以 . (2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ， 故 ，解得 . 又应用正弦定理 ， ， 由三角形面积公式有： EMBED Equation.DSMT4 . 又因 ,故 ， 故 . 故 的取值范围是 7．（2019·全国高考真题（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ． （1）求A； （2）若 ，求sinC． 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1） 即： 由正弦定理可得： （2） ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： 解得： 或 因为 所以 ，故 . （2）法二： ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： ，即 由 ，所以 . 8．（2018·全国高考真题（理））在平面四边形 中， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 ； （2）由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 1．（2021·安徽高三一模（理））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 在 中，由 及正弦定理得： . ， 即 ， 两边除以 可得 ， ，即 ，当且仅当 等号成立， 则 ， 则当 时， 取得最大值为 . 故选：C. 2．（2021·贵溪市实验中学高三一模）在 中，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据正弦定理，可知 ， ， ， 代入原式可得 , 又 ， ， 则 ， ， ，得 . 故选：B 3．（2021·云南曲靖市·高三一模（理）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 中，由正弦定理及 ， 得 ， ∴ ， 又 ，∴ ； 由正弦定理及 ，得 ， 又由余弦定理得 ， 所以 ，得 ． 故选：A 4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的取值范围为______. 【答案】 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减， 所以 ，即 ， 所以 的取值范围为 ， 故答案为： 5．（2021·山东潍坊市·高三一模）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 的半径为 ， ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当 最长