突破06 三角函数满分计划-备战2021年中考数学特色提分手册

突破06：“三角函数”满分计划 1．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为（伸出部分不计），在同一直线上．量得，灯杆长为，灯管长为．求点到桌面的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】45.4 【分析】 过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，进而得出∠EDF的值，利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M， 由题意可得，四边形DNMF是矩形， 则∠NDF=90°， ∵∠A=60°，∠AND=90°， ∴∠ADN=30°， ∴∠EDF=135°-90°-30°=15°， 即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°， 又∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm， ∴∠ABC=30°，则AC=AB=8cm， ∵灯杆CD长为40cm， ∴AD=48cm， ∴DN=AD•cos30°≈41.52cm， 则FM=41.52cm， ∵灯管DE长为15cm， ∴sin15°==0.26， 解得：EF=3.9， 故台灯的高为：3.9+41.52≈45.4（cm）． 2．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌.小明在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为.已知山坡的坡度，米，米，为教学大楼的底部，求这块宣传牌的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） 【答案】这块宣传牌的高度约为2.7米. 【详解】 过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． Rt△ABF中，i=tan∠BAF=， ∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=5，AF=5． ∴BG=AF+AE=5+15． Rt△BGC中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=5+15． Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15， ∴DE=AE=15． ∴CD=CG+GE-DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m． 答：宣传牌CD高约2.7米． 3．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA