专题13 直线与圆-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题13 直线与圆 【要点提炼】 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). (2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)). 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2). 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离. 【方法指导】 求解两直线平行的问题时，在利用 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性。 求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。 3、直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； 4、待定系数法求圆的方程：（1）若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 的方程组，从而求出 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 的方程组，进而求出 的值。 5、研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题。 6、与弦长有关的问题常见几何法，即利用圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，及 弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理。 3、求圆的切线的方程的求法： （1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 命题点一 会解决直线的方程的相关问题 【典例1】（1）（多选题）已知直线 ， ，则（ ） A． 恒过点 B．若 ，则 C．若 ，则 D．当 时， 不经过第三象限 【答案】BD 【分析】 A.直线写成 ，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有 ；C.两直线垂直，根据公式有 ；D.根据直线 不经过第三象限，求实数 的取值范围. 【详解】 ， 当 ，即 ，即直线恒过点 ，故A不正确； 若 ，则有 ，解得： ，故B正确； 若 ，则有 ，得 ，故C不正确； 若直线 不经过第三象限，则当 时， ， ，解得： ， 当 时，直线 ，也不过第三象限， 综上可知： 时， 不经过第三象限，故D正确. 故选：BD （2）过点 的直线 的倾斜角是直线 : 的倾斜角的2倍，则直线 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由 的斜率得倾斜角，从而得直线 的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】 ， ，所以 ，所以直线 的方程是： ，即 ． 故选：B． （3）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 .则“将军饮马“的最短总路程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出图形，求出点 关于直线 的对称点 的坐标，在直线 上取点 ，利用 、 、 三点共线时 取得最小值即可得解. 【详解】 如下图所示，设点 关于直线 的对称点为 ， 由题意可得 ，解得 ，即点 ， 在直线 上取点 ，由对称性可得 ， 所以， ， 当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为 . 故选：C. 【点睛】 思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解. 【方法总结】 求解两直线平行的问题时，在利用 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性。 求直线方程时应根据条件选