专题08 不等式的应用-备战2021年高考数学（文）经典小题考前必刷集合

专题08 不等式应用 . 不等式知识点总结 1、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号） ⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 2、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设为两组实数.是的任一排列，则 （反序和乱序和顺序和） 当且仅当或时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数. 3、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小），如 等. 4、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 5、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 6、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法： ⑴当时,⑵当时, 规律：根据指数函数的性质转化. 9、对数不等式的解法 ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据对数函数的性质转化. 10、含绝对值不等式的解法：⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： 1 2 3 规律：关键是去掉绝对值的符号. 11、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 12、含参数的不等式的解法 解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小. 13、恒成立问题 ⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时 ②当时 ⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时 ⑶恒成立恒成立 ⑷恒成立恒成立 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /15 1．（2021·江西高三其他模拟（文））在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，所以，所以， 所以， 所以，整理得， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 所以的最大值为 故选：A 2．（2021·长沙市·湖南师大附中高三月考）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A．且 B．且的图象不过第二象限 C．且 D．且在上为增函数 【答案】A 【分析】A选项中，由不等式的性质可知：当且，则. 当取时，，但不满足 所以故是的必要不充分条件； B选项中，当时，函数且的图象不过第二象限，所以由成立 当函数且的图象不过第二象限时，则，所以由不成立 所以是的充分不必要条件； C选项中，当且，有成立. 当取时，有成立，但不满足. 所以是的充分不必要条件； D选项中，若且在上为增函数,则，是的充要条件； 故选：A. 3．（2021·新疆高三其他模拟（理））已知函数，满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题设知关于对称且开口向上，根据二次函数的对称性有，求解集. 【详解】 依题意，有二次函数关于对称且开口向上， ∴根据二次函数的对称性：若，即有， ∴. 故选：C 4．（2021·吉林延边朝鲜族自治