专题07 数列的应用-备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合

专题07 数列应用 等差数列、等比数列(其中n∈N*) 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n项和 Sn＝＝ na1＋d ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1 2.活用定理与结论 (1)等差、等比数列{an}的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ④若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ⑤an＝am·qn－m；[来源:Zxxk.Com] ⑥Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) (2)判断等差数列的常用方法 ①定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法[来源:学科网] Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)判断等比数列的常用方法 ①定义法 ＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法 an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法 ＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列. 3.数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和. (2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. (3)通项公式形如an＝ (其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和. (4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. (5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn. 易错点[来源:学科网ZXXK] 1.已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝ 2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是 . 3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解. 4.易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解. 5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论. 6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如≠－，[来源:学科网ZXXK] 而是＝. 8.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式. 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /15 1．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 3．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 5．（2021·浙江高三月考）设数列满足，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为（ ） A． B．