专题12 概率与统计的综合应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题12 概率与统计的综合应用 【要点提炼】 1.抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样，两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围. 2.统计中的四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据. (2)中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数. (3)平均数：样本数据的算术平均数，即eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn). (4)方差与标准差. s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up6(－)))2]， s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]). 3.直方图的两个结论 (1)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率. (2)各小长方形的面积之和等于1. 4.回归分析与独立性检验 (1)回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))经过样本点的中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))，若x取某一个值代入回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中，可求出y的估计值. (2)独立性检验 对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n 则K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量). 5.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数). (2)条件概率. 在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(n（AB）,n（A）). (3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B). (4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A). 6、独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 7、超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 8、离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n). (2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值. D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差. (3)数学期望、方差的性质. ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ). ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 【方法指导】 1、求解概率与分层抽样综合问题的步骤： （1）利用分层抽样的抽样比，求出各层的样本数或各层抽取的样本数； （2）计算样本空间所包含的基本事件个数与所求事件包含的基本事件的个数； （3）利用古典概型的概率计算公式