专题20：概率统计解答题精选提升专练-备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题

专题20：概率统计解答题精选提升专练（解析版） 一、解答题 1．某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生，根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]. （1）求频率分布直方图中a的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）. （2）学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于75分.否则将进行内部调整，用每组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿. 【答案】（1） ； ；（2） ，所以食堂不需要内部整顿. 【分析】 （1）根据小矩形的面积之和等于 求出a的值；再根据中位数将所有小矩形的面积平分即可求解. （2）根据平均数等于各小矩形的面积乘以等边中点横坐标之和即可求解. 【详解】 （1）由 ， 解得 . 设该组数据的中位数为 ， 则 ， 解得 ，所以该组数据的中位数为 . （2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为 ， 因为 ，所以食堂不需要内部整顿. 【点睛】 本题考查了根据频率分布直方图求中位数、平均数，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（ 吨）与相应的生产能耗 （吨）标准煤的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ （参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ， ） 【答案】（1） ；（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低 吨． 【分析】 （1）根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数 的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出 值，得到线性回归方程； （2）根据第一问中所求的线性回归方程，把 代入线性回归方程，即可得到答案； 【详解】 解：（1） ， ， ， ， ； ， 所求的回归方程为 ． （2） 时， （吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低 （吨）． 【点睛】 此题考查线性回归方程的求法和应用，考查计算能力，属于基础题 3．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天. （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率； （Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【解析】 （Ⅰ）在3月1日至3月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为 ． （Ⅱ）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”， 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是 ． （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的. 4．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（AQI），将这100天的AQI数据分为五组，各组对应的区间为 .并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图. （1）请将频率分布直方图补充完整； （2）已知空气质量指数AQI在 内的空气质量等级为优，在 内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数； （3）在（2）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经选定了6天，然后再从这6天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率. 【答案】（1）直方图见解析；（2）40；（3） . 【分析】 （1）先求出 在 ， 内的频率，从而 在 ， 内的 ，由此能把频率分布直方图补充完整． （2）这100天中空气质量等级为优的天数为 ，空气质量等级为良的天数为 ， （3）选定的6天中有2天空气质量等级为优，有4天为良分别记为 ， 和 ， ， ， ，记事件“从这6天中任取两天，这两天的空气质量等级相同”为 ，利用列举法能坟出这两天的空气质量等级相同的概率． 【详解】 解:（1）因为AQI在 内的频率