专题19：数列解答题精选提升专练-备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题

专题19：数列解答题精选提升专练（解析版） 一、解答题 1．已知等差数列 中， ， . （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前n项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）先设等差数列的公差为 ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，得到 ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ， 所以 ，解得 ，所以 ； （2）由（1）可得， ，即数列 为等比数列， 所以数列 的前n项和 . 2．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， . （1）求公差 及 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值. 【答案】（1） ， ；（2） ，最小值为 . 【分析】 （1）设 的公差为 ，由题意得 ，再由 可得 ，从而可求出 的通项公式； （2）由（1）得 ，从而可求出其最小值 【详解】 （1）设 的公差为 ，由题意得 . 由 得 . 所以 的通项公式为 . （2）由（1）得 . 所以 时， 取得最小值，最小值为 3．等差数列 满足 ， . （1）求 的通项公式. （2）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算 ，从而求出 ，利用等比数列前 项和公式即可求出 . 【详解】 解：( )∵ 是等差数列， ， ∴解出 ， ， ∴ . ( )∵ ， ， 是等比数列， ， ∴b1=4 4．已知等差数列 的前 项和 满足 ， . （1）求 的通项公式； （2） 求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由 ， ，可得 求出 ，从而可得 的通项公式； （2）由（1）可得 ，从而可得 ，然后利用裂项相消求和法可求得 【详解】 解：（1）设等差数列 的公差为 ， 因为 ， . 所以 ，化简得 ，解得 ， 所以 ， （2）由（1）可知 ， 所以 ， 所以 【点睛】 此题考查等差数列前 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题 5．已知数列 的前n项和为 （1）当 取最小值时，求n的值； （2）求出 的通项公式. 【答案】（1） 或 ；（2） 【分析】 （1）直接对 进行配方，由 可求出其最小值 （2）由 求解 的通项公式 【详解】 解：（1） ， 因为 ， 所以当 或 时， 取最小值， （2）当 时， ， 当 时， ， 当 时， 满足上式， 所以 【点睛】 此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查 的关系，属于基础题 6．设 ，数列 的前n项和为 ，已知 ， ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项的和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由 ，得 ，所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，再由已知条件可得： ，即可得解； （2）由（1）得 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 , 分组求和即可得解. 【详解】 （1）由 ，得 ， 所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列. 由 ， ， 成等比数列可得 ， 即 ，解得 ， 所以 . （2）由（1）得 ，所以 所以 . 【点睛】 本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题. 7．已知等比数列 中， ，且 ，公比 . （1）求 ； （2）设 的前 项和为 ，求证 . 【答案】（1） ；（2）见解析. 【分析】 （1）由等比数列的通项公式，可得 的方程，解方程可得 的值，进而得到所求通项公式； （2）利用等比数列求和公式求和，进而根据数列的单调性即可证明． 【详解】 （1）由已知得： 或 (舍去)， 所以 . （2）因为 ， ，所以 ， 因为 在 上为减函数，且 恒成立， 所以当 时， ， 所以 . 8．在公差为2的等差数列 中， ， ， 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【分析】 （1）根据等差数列 的公差为 ,得到 , ,再根据 , , 成等比数列,由等比中项公式得出首项 ,代入通项公式即可得通项. （2）由（1）得 ,数列 ,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可.. 【详解】 解：（1）∵ 的公差为 , ∴ , . ∵ , , 成等比数列, ∴ , 解得 , 从而 . （2）由（1）得 , . 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题. 9．已知 为等差数列，其前 项和为 ， 是首项为2且单调递增的等比数列，其前 项和为 ， ， ， . (1)求数列 和 的通项公式； (2)设 ， ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ， ；（2）