专题17：不等式（选讲）-备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题

专题17：不等式（选讲）知识点和精选提升题（解析版） 知识点整合： 1． 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解． 2． 含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3． 柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号 成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))aeq \o\al(2,i))(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))beq \o\al(2,i))≥(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))aibi)2，当且仅当eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝…＝eq \f(an,bn)(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立． 4． 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 一、解答题 1．已知 . （1）当 ， 时，解不等式 ； （2）若 的最小值为2，求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）当 ， 时， ， 分类讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式可得 ， 若 的最小值为2，则 ，所以 ，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】 （1）当 ， 时， ， 所以 或 或 ， 解得： 或 ， 故解集为 ； （2）由 ， 所以 ， 若 的最小值为2，则 ，所以 ， ， 所以 的最小值为 . 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题. 2．已知函数 ． （1）求 的解集； （2）若 ，求 的最小值． 【答案】（1） 或 ；（2） . 【分析】 （1）由题意可得 ，然后去绝对值解出不等式即可； （2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果． 【详解】 （1）因为 ， ， 所以 ，即 或 ， 所以 或 ， 所以不等式的解集为 或 ． （2）因为 ，所以 ； 因为 ， 所以 的最小值为 . 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题． 3．已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）设实数 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）见解析 【分析】 （1）由绝对值不等式的解法，分类讨论当 时，当 时，当 时， 的解集即可； （2）由不等式的性质可得 ，然后再运算即可得解. 【详解】 解：（1）当 时，不等式等价于 ，即 ， 当 时，不等式等价于 ，即 ， 当 时，不等式等价于 ，即 ， 综上可得不等式解集 . （2）由实数 ， 则 ， 即 ， 于是 ， 即 ， 所以， . 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了不等式的性质，属基础题. 4．设函数 （1）解不等式: ; （2）若 对一切实数 均成立:求 的取值范围. 【答案】（1） ;（2） 【分析】 （1）运用零点分段法对 的取值进行分类,分别求出不等式的解集,从而求出不等式的解; （2）利用绝对值的性质,确定出 的最小值,从而使问题得解. 【详解】 （1）因为 , ①当 时, , 解得 ,所以 ; ②当 时, , 解得 ,所以 ; ③当 时, , 解得 ,所以 ; 综上所述, 的解为 （2）若 , 对一切实数 均成立, 则 ,解得 故所求 的取值范围为 【点睛】 本题是一道关于绝对值不等式求解的题目,熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键. 5．设函数 ． （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ） ，去掉绝对值符号，然后求解不等式即可． （Ⅱ）依题意，问题等价于关于 的不等式 恒成立， ，利用绝对值的几何意义转化求解即可． 【详解】 （Ⅰ） ， 可转化为 或 或 ， 解得 或 或无解， 所以不等式的解集为 ． （Ⅱ）依题意，问题等价于关于 的不等式 恒成立， 即 ， 又 ，当 时取等号． 所以 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围是 ． 【点睛】 解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符